géométrie

Les fondamentaux – 3 beaux exercices pour finir le calcul algébrique !

Retour sur les exercices de 2nde pour finir le chapitre sur le calcul algébrique. Comme on a déjà pu le voir avec des exercices « avancés », on n’utilise pas forcément des techniques ou concepts plus difficiles, mais il faut parfaitement maîtriser le cours pour pouvoir avoir les bonnes idées.

On attaque avec des manipulations d’expressions littérales (évidemment, c’est un peu le thème) et le 1er exercice ressemble à ce qu’on a déjà pu croiser sur la chaîne Hedacademy pour ceux qui la suive (et que je recommande à ceux qui ne le font pas déjà !) : https://youtube.com/@hedacademy?si=wTQckaJLOe-oZUDg. Je ne dirais jamais assez qui faut connaître par cœur ses identités remarquable et dans les 2 sens !

J’ai un peu menti dans l’introduction, le 2ème exercice demande de connaître une identité remarquable du 3ème degré (ou au moins de savoir que ça existe), sinon on peut chercher un moment ! Le principe est sinon le même que dans l’exercice précédent.

Pour le 3ème, on va faire un peu de géométrie pour démontrer la formule de Héron qui fait le lien entre l’aire d’un triangle et son périmètre (ou plus exactement son demi-périmètre). Je trouve personnellement que c’est une très belle formule, malheureusement pas assez connue. Pour arriver à ce résultat, on par du classique et scolaire « base fois hauteur divisé par 2 » et formuler cela en fonction des longueurs des côtés. Ne cherchez pas à vous esquiver, on va encore passer par des identités remarquable, le calcul d’aires faisant naturellement apparaître des sommes et différences de carrés.

Embarquons pour ce voyage !

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Antoine

Bac C 1981 – Aix Marseille – corrigé complet

Repartons à la rencontre des sujets qui ont fait pleurer les élèves en leur temps avec ce sujet de 81 pour l’académie d’Aix Marseille. J’avais entendu parler de ce sujet il y a quelques temps et il m’est revenu en tête à la publication de la vidéo d’Axel Arno (https://youtu.be/XYKocUhk4Ng?si=cN9XNH4Un6opnOns. Je n’ai pas encore regardé la vidéo au moment où j’écris cet article, mais je ne doute pas qu’elle vaille le coup !). Je n’ai pas été déçu du voyage !

On s’échauffe tranquillement avec un raisonnement par l’absurde sur les nombres premiers. On est dans du classique, mais cet exemple est à maîtriser.

L’exercice 2 est de la géométrie. Sans être forcément difficile, il est assez bourrin avec une composition de 4 transformations. Pas mal de calculs, j’espère ne pas avoir fait d’erreur, j’avoue avoir eu la flemme de relire !

On arrive sur le gros morceau, le problème de Bâle ou le calcul de la somme des inverses des carrés. On va donc manipuler des suites dans un premier temps (ça reste le thème de base) pour s’assurer d’abord de la convergence de la somme. On continue ensuite avec de la trigonométrie, en faisant un détour par les complexes tant qu’à faire. Je pense que cette partie n’est plus vraiment accessible en terminale, les complexes n’étant abordés qu’en maths expertes. On s’étonnera au passage qu’un résultat assez basique (la somme des termes d’une suite géométrique) soit rappelé dans l’énoncé quand on voit les connaissances nécessaires pour traiter le problème.

Avant de conclure, on passe par des études de fonctions et des calculs d’intégrales dont on va chercher les limites… L’arrivée à ce magnifique résultat sera la consécration de tous ces efforts !

En selle, voici le sujet :

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Et la correction :

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Antoine

Brevet 1978 – académie de Paris – corrigé complet

Pour péparer Noël, je vous propose un nouveau sujet sorti du passé : l’épreuve du brevet de l’académie de Paris en 1978. L’épreuve est séparée en 2 parties, algèbre et géométrie.

La partie algèbre propose d’étudier quelques propriétés de polynômes du second degré uniquement avec des outils simples, ainsi qu’une fraction rationnelle composée de ces polynômes. Je trouve que cet exercice est intéressant car si je pense que ça serait une boucherie en épreuve de brevet de nos jours, les outils à utiliser sont à disposition dans le programme de 3ème.

L’exercice de géométrie utilisent pas mal de propriétés des vecteurs, qui sont introduits en 2nde, donc plus du tout accessible en 3ème. Cependant, on pourrait imaginer le reformuler en restant proche mais uniquement avec la géométrie du collège.

À noter, et j’espère que ça n’était pas le cas pour les candidats de l’époque, il y a 2 fautes de frappe dans le 2ème exercice : un point M fantôme est introduit à la question 2 et à la question 4, il faut prendre DE = 4i-4j et pas 4i-j.

En conclusion, même si on pourrait transformer ce sujet en défi pour des élèves de fin de 3ème, les programmes actuels en font plutôt un bon sujet sérieux de 2nde où tous les points sont dans le programme.

À l’attaque !

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Antoine

Seconde – les vecteurs – 1ère partie

Dans ce post, nous allons introduire la notion de vecteur telle qu’elle est vue en seconde. On est dans cette classe à la croisée entre la géométrie et l’algèbre et on peut par ce biais se représenter visuellement les résultats qu’on obtient pas le calcul.

C’est une notion indispensable car elle évolue plus tard dans la notion d’algèbre linéaire et pour citer Wikipédia : « Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. En ce sens, un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, c’est-à-dire qu’il est possible d’effectuer les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire (par un nombre), et que ces opérations ont de bonnes propriétés. » Tout un programme !

Ça doit évidemment être répété au fur et à mesure qu’on avance sur le merveilleux chemin de l’algèbre linéaire, mais on ne peut pas trop insister sur l’importance de cette notion et sur le fait, justement, qu’on peut souvent la rapprocher d’une représentation assez simple dans le plan ou dans l’espace.

Dans cette première partie on revoit les définitions et propriétés de base. On se rend compte qu’il y a tout de même un nombre assez important de nouveautés avec lesquelles il faut se familiariser. Ne pas hésiter à multiplier les exercices pour s’assurer de la bonne maitrise.

Les exercices justement, j’en ai mis 4 ici. 2 en particulier permettent de bien faire le lien entre la vision géométrique (le « dessin ») et la vision algébrique (le calcul) de la même question. Si j’ai trouvé que ça faisait une bonne revue des notions évoquées, je ne prétends pas du tout qu’ils sont exhaustifs et comme je le disais dans la paragraphe précédent, il faut en faire le plus possible. On en trouve facilement sur internet !

Pour les vecteurs, suivez la flèche !

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Antoine

Bac série S 1996 – Métropole groupe II

Nouveau sujet de bac dans ce post, avec le sujet de métropole groupe 2 (je ne sais pas trop où c’est du coup…) en 1996.

On attaque sur un exercice de probabilités avec 2 sacs de 5 boules. On revoit une bonne partie des questions classiques avec le dénombrement de différentes combinaisons, la description d’une loi de probabilité, des probabilités conditionnelles et un loi binômiale pour terminer !

On continue sur l’exercice d’enseignement obligatoire qui porte sur les complexes (dommage de se dire qu’aujourd’hui ce monde merveilleux est réservé à ceux qui prennent maths expertes !). Comme dans d’autres exercices déjà croisés, on est surtout sur l’interprétation géométrique des affixes et transformations du plan : on mélange donc des calculs et l’interprétation du résultat, c’est toujours intéressant !

L’exercice de spécialité est pour sa part un exercice de géométrie. Et… bah franchement, pas grand-chose à voir ! Rien de bien intéressant, la question 2.b à la limite. Quel dommage et surprise par rapport à l’exercice précédent.

On finit sur du classique, un problème d’analyse avec des exponentiels, des études de fonctions et un peu d’intégrales pour finir. Un peu d’originalité avec le f+f^2, sympa !

Encore un bon sujet, qui doit être accessible pour les terminales actuelles et plus intéressant que les annales des dernières années !

À vous de jouer…

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Antoine

Brevet 1980 – Amiens

On repart au collège avec l’épreuve du brevet de l’académie d’Amiens en 1980.

Autant pour les épreuves récentes je pense qu’on peut les attaquer pendant la 4ème, autant là, je pense que c’est déjà compliqué pour un élève de 3ème actuel, voir même en 2nde.

L’épreuve se compose de 2 exercices, un d’algèbre et un d’analyse.

L’exercice d’algèbre va tourner autour de l’étude de 2 trinômes présentés sous des formes alambiquées. On va donc développer, factoriser, chercher les racines et étudier brièvement la fraction rationnelle formée par ces 2 trinômes. On peut déjà faire pas mal de choses avec des outils assez simples !

On passe à la géométrie. Des triangles, Thales, Pythagore, des propriétés des cercles circonscrits. Tout ce qu’on attend de ce genre d’exercice. Je pense que tout ce qui est nécessaire est encore au programme d’ailleurs.

À vous de jouer !

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Antoine

Bac série S 1995 – Pondichéry

On continue aujourd’hui notre exploration des sujets de bac en voyageant cette fois dans l’espace en plus du temps pour nous en 1995, époque qu’on connait déjà bien et en Inde à Pondichéry. Nous voilà donc au bord de l’océan indien pour les prochaines heures. Vous noterez que je n’ai traité que les exercices de spécialité, sans aucune raison à part une forme de flemme. J’avoue…

On attaque donc sur un exercice de complexes et leur représentation géométrique. Comme d’hab, on n’insiste jamais trop sur l’importance des complexes pour les études scientifiques dans le supérieur. Rien de particulier, à part une question où je suis parti sur une méthode calculatoire proche de l’enfer. Il est peut-être possible de faire autrement, n’hésitez pas à me dire si vous avez d’autres idées !

J’ai donc zappé l’exercice de probabilités. Mais j’encourage tout de même à le faire.

On continue donc sur l’exercice de géométrie avec des triangles et des transformations. Les concepts revus ici sont donc plutôt simples, mais ils sont à bien maîtriser, c’est là où l’exercice est intéressant.

On finit sur un problème d’analyse. Si vous avez déjà suivi les sujets précédents, on retrouve un peu toujours les même sujets, de l’exponentiel, de la dérivation, de l’intégration, des valeurs approchées de racines. Bref, à force tout le monde doit être très à l’aise !

Lançons-nous !

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Antoine

Bac série 2011 – Métropole

Bac 2011 aujourd’hui. Pourquoi ? Aucune raison, j’ai cliqué dessus dans la série des années et pas de regret, j’ai trouvé ce sujet bien intéressant. Comme quoi, il n’y a pas si longtemps on avait encore des vrais sujets au bac ! Plongeons-nous dedans !

On commence par des probabilités et… le calcul de la fiabilité d’un test de dépistage ! Situation presque encore d’actualité (voir qui a tendance à le redevenir…). En tout cas, on y revoit les grands résultats du programme et comme souvent avec les probabilités, on y croise des résultats plutôt contre-intuitifs.

Exercice 2, un QCM, toujours sans justification. C’est bien dommage, on y parle des complexes et les justifications y sont aussi importantes que les résultats en eux-même. Comme d’habitude, en exercice d’entrainement il faut absolument justifier les résultats.

Exercice 3 : un long exercice d’analyse, avec (comme assez souvent), un premier fonction dont l’étude nous sert, en partie, dans la suite. Le sujet concerne globalement une famille de fonctions, leurs courbes et des tangentes. Partie B, on étudie la suite des intégrale correspondantes. Classique mais intéressant et varié.

Exercice 4 – hors spécialité : j’ai été assez surpris par celui-ci car c’est un exercice de géométrie dans l’espace pas trivial du tout et assez long ! Je pense que ça a dû piquer sur pas mal de copies ! Il fallait bien connaitre les grandes propriétés des distances d’un point à un plan, des droites/vecteurs orthogonaux au plan…

Et du coup, l’exercice de spécialité parait un peu fade après ça (même s’il n’y a évidemment pas eu de « après » pour les bacheliers qui n’avait qu’un des 2 à traiter). On a droit à de l’arithmétique, c’est vrai qu’on n’en voit pas si souvent, mais bon… Bref… Les résultats importants sont rappelés, donc c’est juste pour voir si les élèves ont compris les congruences en gros. Dommage !

On ne boude pas son plaisir pour autant, un sujet qui balaye large et des exercices intéressants ! A vous de jouer !

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Antoine

Brevet 2007 – Métropole

On revient au collège pour ce post avec l’épreuve du brevet de 2007 en métropole. Voilà, rien à dire en intro…

L’épreuve est composée de 3 parties, activités numériques, activités géométriques et un problème. Le problème étant pour cette fois de la géométrie, ça fait une bonne révision de cette partie ! Et comme pour les sujets précédents, une bonne partie des questions doit être accessible en 4ème, donc n’hésitez pas à tenter même avant la 3ème.

Pour la partie numérique, on attaque sur un QCM… sans justification… Autant le dire, je pense que le QCM sans justification est la pire ignominie qui soit arrivée aux mathématiques du secondaire, car c’est vraiment l’opposé de ce qu’on doit apprendre aux élèves, qui est de maîtriser et comprendre les concepts et pas de répondre plus ou moins au hasard en espérant gratter des points. Bref ! Evidemment, j’ai ajouté quelques lignes de justification et j’encourage tout le monde à faire de même, sinon, autant passer directement à la suite.

La suite justement, un petit exercice d’algorithmique, que j’ai trouvé plutôt sympa. Personnellement j’aime autant ça que les question en « scratch » sur papier, bien que je sois un fervent partisan de scratch pour l’apprentissage de la programmation !

On bascule sur la géométrie. Beaucoup (beaucoup) de Pythagore en direct et réciproque, un peu de Thales au milieu de tout ça. J’ai bien aimé le problème avec un angle qui varie dans une figure.

Allez les collégiens, on se prépare pour la rentrée !

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Antoine

Bac série C 1992 – Métropole gr 1

Nouvelle annale de bac pour ce post, avec cette fois l’épreuve passée par mon grand frère. J’avoue que je n’ai pas des caisses de commentaires à faire sur l’épreuve en elle-même, je vais juste noter la remarque faite par l’APMEP : « le sujet sans difficulté majeure, où pratique- ment tous les résultats étaient donnés, a permis dans l’académie d’Amiens d’obtenir des moyennes nettement supérieures à 10. » Bah merci ! (Enfin, évidemment, merci une nouvelle fois pour le partage des ressources !)

L’épreuve est en 2 parties : les 2 exercices principalement sur de la géométrie et le problème sur de l’analyse.

Le 1er exercice est introduit par une équation du 3ème degré à résoudre dans C. Rien de particulier, on a une solution évidente comme première étape de résolution, puis un trinôme. C’est en fait une introduction pour placer des points et étudier une ellipse dans la question 2. Je crois que ça ne se fait plus trop, à part un peu dans sa version analytique et c’est dommage quand on voit l’importance de ces figures !

2ème exercice, à nouveau de la géométrie, sur des symétries et des triangles. Exercice assez basique, à part peut-être la propriété des points cocycliques, même si je pense que la propriété utilisée est toujours vue au collège cela dit…

On arrive sur le gros morceau, le problème d’analyse : étude de fonction paramétrique, suites, limites, intégrales… Je trouve que c’est un bon exercice de révision. En tant qu’épreuve, en effet, on revient sur la remarque de l’introduction, c’est très guidé et l’élève à l’aise se sent presque bridé par l’énoncé qui donne vraiment beaucoup d’indications. Je pense au passage qu’il serait intéressant de faire faire l’exercice par des terminales actuelles pour voir le résultat.

En tout cas, nous voilà partis !

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Antoine