Intégrales

Bac 1978 série C – Liban

Retour en 1978 pour ce post avec un nouveau sujet de cette session. Un sujet qui est entouré d’une aura assez légendaire en particulier pour son problème, comme on va le voir tout à l’heure…

On commence par un peu d’arithmétique avec des multiples de 4 de la forme 37p+1. Un peu de calcul donc.

On enchaîne sur une fonction paramétrique de vecteurs. L’exercice n’est pas très difficile, mais je pense que ça n’est plus du tout au programme.

Et on arrive sur le gros morceau, le calcul de l’intégrale de Gauss ! Une méthode « classique » pour ce calcul est un changement de variable pour passer du mode coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, ce qui n’est déjà pas trivial. Mais là on passe par l’étude d’une fonction définie par une intégrale à paramètre. Cette fois, on est à la fois hors programme et sur un exercice difficile ! Les objets à manipuler ne sont franchement pas marrants… Je pense qu’il serait même intéressant de le faire faire en sup pour voir le résultat.

Je n’en dis pas plus, l’énoncé étant finalement assez court, mais vous avez de quoi passer un bon week-end !

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Antoine

Bac série 2011 – Métropole

Bac 2011 aujourd’hui. Pourquoi ? Aucune raison, j’ai cliqué dessus dans la série des années et pas de regret, j’ai trouvé ce sujet bien intéressant. Comme quoi, il n’y a pas si longtemps on avait encore des vrais sujets au bac ! Plongeons-nous dedans !

On commence par des probabilités et… le calcul de la fiabilité d’un test de dépistage ! Situation presque encore d’actualité (voir qui a tendance à le redevenir…). En tout cas, on y revoit les grands résultats du programme et comme souvent avec les probabilités, on y croise des résultats plutôt contre-intuitifs.

Exercice 2, un QCM, toujours sans justification. C’est bien dommage, on y parle des complexes et les justifications y sont aussi importantes que les résultats en eux-même. Comme d’habitude, en exercice d’entrainement il faut absolument justifier les résultats.

Exercice 3 : un long exercice d’analyse, avec (comme assez souvent), un premier fonction dont l’étude nous sert, en partie, dans la suite. Le sujet concerne globalement une famille de fonctions, leurs courbes et des tangentes. Partie B, on étudie la suite des intégrale correspondantes. Classique mais intéressant et varié.

Exercice 4 – hors spécialité : j’ai été assez surpris par celui-ci car c’est un exercice de géométrie dans l’espace pas trivial du tout et assez long ! Je pense que ça a dû piquer sur pas mal de copies ! Il fallait bien connaitre les grandes propriétés des distances d’un point à un plan, des droites/vecteurs orthogonaux au plan…

Et du coup, l’exercice de spécialité parait un peu fade après ça (même s’il n’y a évidemment pas eu de « après » pour les bacheliers qui n’avait qu’un des 2 à traiter). On a droit à de l’arithmétique, c’est vrai qu’on n’en voit pas si souvent, mais bon… Bref… Les résultats importants sont rappelés, donc c’est juste pour voir si les élèves ont compris les congruences en gros. Dommage !

On ne boude pas son plaisir pour autant, un sujet qui balaye large et des exercices intéressants ! A vous de jouer !

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Antoine

Bac métropole série S – 95

Nostalgie pour ce post avec le sujet de math du bac S de 1995 et donc l’épreuve que j’ai moi-même passée !

On notera qu’elle contient beaucoup d’analyse…

On attaque par un petit exercice sur les complexes qui porte sur le lien entre les affixes et la géométrie dans le plan.

Le 2ème, ou plutôt les 2ème, puisqu’on y fait une distinction entre spécialité ou non, porte sur du calcul d’intégrales avec étude de fonction intermédiaire pour arriver au résultat. L’exercice de spécialité introduit une suite définie par des intégrales. Heureusement, on en a déjà croisé pas mal ici ! J’ai mis les 2 exercices tant qu’à faire.

Ensuite, le plat de résistance, le problème sur 11 points (le total fait 21 points pour ceux qui ont fait attention, ça sentait déjà le début de la fin !). On y étudie les tangentes communes aux courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme. Là aussi, on passe par une fonction intermédiaire et on va s’intéresser à des propriétés numériques et géométriques de ces droites.

Cette fois encore, merci à l’APMEP de partager ces ressources !

Allez, c’est parti, on remonte 28 ans en arrière !

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J’espère que ça vous aura plu, en tout cas moi ça m’a bien amusé de faire ce saut dans le temps.

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Antoine

Assas – test d’admission en 2ème année du collège d’économie (épreuve d’analyse)

Assas ? Economie ? C’est quoi le rapport ? Bonne question… En fait, je ne sais d’ailleurs même plus trop où j’ai récupéré ce sujet, certainement sur un Discord quelconque !

Mais peu importe ! J’ai trouvé ces 3 exercices assez intéressants sur les suites, fonctions et intégrales. Je ne sais pas exactement combien de temps était prévu pour ce test d’ailleurs. 1h ? 1h30 ? probablement pas plus, car ça reste assez court. On est un peu au-delà de la Terminale, même si la plupart des questions peuvent être résolus avec les connaissances Maths Expertes.

On commence par une étude de suite, liée à une intégrale qui va servir d’intermédiaire vers le résultat final. Une étude de fonction dans l’exercice 2 et des 2 petites questions « diverses » d’analyse en dessert.

Amusez-vous bien !

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Antoine

Intégration par parties

Paragraphe 8.4 de notre compagnon de l’été (oui, le livret Louis le Grand si vous aviez un doute), quelques exercices sur l’intégration par parties.

C’est un outil indispensable pour les exercices sur les intégrales et on retrouve dans ces exercices les fonctions traditionnelles trigonométriques, exponentielles (à dériver ou primitiver) et les polynômes (plutôt à dériver pour arriver jusqu’à une constante). Je trouve toujours cette méthode assez fascinante, car c’est un outil très puissant basé simplement sur la dérivée d’un produit de fonctions : (uv)’=u’v+v’u !

On va retrouver ci-dessous les exercices 237 à 243. Le 243 est déjà dans un autre post, car il était introductif au problème que l’on y considérait, mais je le remets ici dans son paragraphe d’origine.

Évidemment, et même si je ne le remets pas à chaque fois, je vous conseille d’aller lire les rappels de cours donnés dans le poly qui ne pourront pas faire de mal, même si vous savez résoudre les exercices.

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Antoine

2 exercices (209 et 231) sur les inégalités

Dans ce post, on repart à l’assaut du livret Louis-le-Grand avec 2 exercices sur les inégalités (d’où le titre…), les 209 et 231, dont je trouve l’enchaînement intéressant pour 2 raisons : déjà on utilise le résultat du premier donc autant les présenter ensemble et la méthode est la même dans les 2, à savoir qu’on n’introduit une fonction intermédiaire dont le comportement nous permet d’arriver à la conclusion cherchée.

Il y a d’abord l’inégalité de Young avec un produit de réels, puis l’inégalité d’Hölder sur des intégrales. On remarquera au passage que le 2ème résultat est une généralisation de l’inégalité de Cauchy-Schwartz (et si on ne le remarque pas, c’est indiqué dans l’énoncé). On avait d’ailleurs déjà traité ce cas dans un autre exercice, qui est d’ailleurs basé sur le même principe, mais avec l’étude d’un trinôme cette fois, ce qui était donc plus aisé.

Je vous laisse donc avec ces 2 exercices, pas si compliqués en soi, mais avec des expressions un peu lourdes à manipuler dans le 2ème qui est une complication en soi.

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Antoine

Intégrales – partiel L2 Sorbonne Université 2012

On change de style pour ce post avec un partiel de L2 de l’UE LM250 de Sorbonne Université (Jussieu) en 2012.

Je propose ces 3 exercices ici car ils sont assez guidés donc réalisables il me semble en Terminale si on est chaud ou au moins en bac +1. De plus, l’énoncé comporte une fiche de rappels de cours qui est intéressante.

On est sur de l’étude de convergence et de la manipulation de suites. Je n’en dis pas plus, finalement l’essentiel est dans les rappels de cours !

A vous de jouer !

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Antoine

Calcul intégral et primitives – 5 exercices

Suite à la mise en bouche du précédent post, je vous propose aujourd’hui un petit retour en arrière avec des exercices pour reprendre les bases du calcul intégral avec les 5 premiers exercices du chapitre correspondant dans le poly Louis-le-Grand.

On commence par une série de calcul de primitives, avec un certain nombre de formes qu’on va retrouver régulièrement, donc à savoir trouver et surtout reconnaître « automatiquement » au fur et à mesure de votre avancée dans ce sujet.

On continue avec quelques exercices d’application où on retrouve principalement des logarithmes et des fonctions trigonométriques, compagnons habituels de ce genre d’exercices.

N’hésitez pas à prendre un peu de temps si besoin, c’est indispensable de bien maîtriser ces bases !

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Antoine

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

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Antoine

CAPES Interne Maths 2007

Penchons-nous aujourd’hui sur le sujet du CAPES interne de 2007 qui propose 2 problèmes que j’ai trouvé assez intéressants. Au passage, merci au site apmep.fr pour la mise à disposition de ces archives !

Le 1er problème nous propose d’étudier les fonctions sinus et cosinus hyperboliques. On va réaliser plusieurs manipulations sur ces fonctions, encadrements, développements limités et représentations graphiques. On passe en revue pas mal de concepts en peu de temps !

Le 2ème problème est un problème de géométrie qui se penche sur les propriétés des cercles inscrits et circonscrits des triangles. On va principalement travailler sur les vecteurs et les barycentres.

Je vous laisse avec le sujet !

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Antoine