Complexes

Bac série 2011 – Métropole

Bac 2011 aujourd’hui. Pourquoi ? Aucune raison, j’ai cliqué dessus dans la série des années et pas de regret, j’ai trouvé ce sujet bien intéressant. Comme quoi, il n’y a pas si longtemps on avait encore des vrais sujets au bac ! Plongeons-nous dedans !

On commence par des probabilités et… le calcul de la fiabilité d’un test de dépistage ! Situation presque encore d’actualité (voir qui a tendance à le redevenir…). En tout cas, on y revoit les grands résultats du programme et comme souvent avec les probabilités, on y croise des résultats plutôt contre-intuitifs.

Exercice 2, un QCM, toujours sans justification. C’est bien dommage, on y parle des complexes et les justifications y sont aussi importantes que les résultats en eux-même. Comme d’habitude, en exercice d’entrainement il faut absolument justifier les résultats.

Exercice 3 : un long exercice d’analyse, avec (comme assez souvent), un premier fonction dont l’étude nous sert, en partie, dans la suite. Le sujet concerne globalement une famille de fonctions, leurs courbes et des tangentes. Partie B, on étudie la suite des intégrale correspondantes. Classique mais intéressant et varié.

Exercice 4 – hors spécialité : j’ai été assez surpris par celui-ci car c’est un exercice de géométrie dans l’espace pas trivial du tout et assez long ! Je pense que ça a dû piquer sur pas mal de copies ! Il fallait bien connaitre les grandes propriétés des distances d’un point à un plan, des droites/vecteurs orthogonaux au plan…

Et du coup, l’exercice de spécialité parait un peu fade après ça (même s’il n’y a évidemment pas eu de « après » pour les bacheliers qui n’avait qu’un des 2 à traiter). On a droit à de l’arithmétique, c’est vrai qu’on n’en voit pas si souvent, mais bon… Bref… Les résultats importants sont rappelés, donc c’est juste pour voir si les élèves ont compris les congruences en gros. Dommage !

On ne boude pas son plaisir pour autant, un sujet qui balaye large et des exercices intéressants ! A vous de jouer !

bac-s-2011-metropoleTélécharger
bac-s-2011-metropole-1Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Bac 1997 série S – Métropole

On continue l’exploration temporelle des sujets de bac avec cette fois le sujet de 1997. Pas de grosses remarques, je trouve intéressant de regarder les exercices spécialité/non spécialité, qui sont sur cette session sur le même thème.

Commençons la revue. L’exercice 1 est sur les probabilités. Personnellement, j’ai toujours eu du mal avec ce sujet, mais comme vous l’avez peut-être remarqué, à cette époque on n’en croisait pas encore trop souvent ! Cet exercice, totalement classique, de tirage de dés m’a donc rappelé de bien mauvais souvenirs ! Mais comme c’est maintenant a peu près systématique, c’est une bonne occasion de réviser.

Exercice 2 (hors spécialité) traite de représentation de figures et de transformations dans le plan complexe. Bien qu’incapable de remettre dans la tête des élèves de l’époque, je trouve que cet exercice n’est pas du tout trivial et est intéressant pour tous les élèves de Terminale aujourd’hui. De plus, l’exercice 2 de spécialité porte sur le même sujet. A part qu’on y étudie des ellipses, je ne le trouve pas forcément plus compliqué. Du coup, les 2 exercices 2 forment une bonne revue des complexes en Terminale.

Le problème propose (enfin impose) une étude de fonction. Une revue assez large avec une fonction intermédiaire qu’on va utiliser ensuite pour étudier la dérivée de la fonction coeur du problème. Dérivation, intégration, limites, asymptotes, approximation… Tout y passe pour un problème au final assez long et pas forcément évident !

En conclusion, une épreuve très intéressante et pas si facile ! Une belle opportunité de révisions ! C’est parti !

bac-s-1997-metropole-gr-1Télécharger
bac-1997-serie-s-metropoleTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Bac série C 1992 – Métropole gr 1

Nouvelle annale de bac pour ce post, avec cette fois l’épreuve passée par mon grand frère. J’avoue que je n’ai pas des caisses de commentaires à faire sur l’épreuve en elle-même, je vais juste noter la remarque faite par l’APMEP : « le sujet sans difficulté majeure, où pratique- ment tous les résultats étaient donnés, a permis dans l’académie d’Amiens d’obtenir des moyennes nettement supérieures à 10. » Bah merci ! (Enfin, évidemment, merci une nouvelle fois pour le partage des ressources !)

L’épreuve est en 2 parties : les 2 exercices principalement sur de la géométrie et le problème sur de l’analyse.

Le 1er exercice est introduit par une équation du 3ème degré à résoudre dans C. Rien de particulier, on a une solution évidente comme première étape de résolution, puis un trinôme. C’est en fait une introduction pour placer des points et étudier une ellipse dans la question 2. Je crois que ça ne se fait plus trop, à part un peu dans sa version analytique et c’est dommage quand on voit l’importance de ces figures !

2ème exercice, à nouveau de la géométrie, sur des symétries et des triangles. Exercice assez basique, à part peut-être la propriété des points cocycliques, même si je pense que la propriété utilisée est toujours vue au collège cela dit…

On arrive sur le gros morceau, le problème d’analyse : étude de fonction paramétrique, suites, limites, intégrales… Je trouve que c’est un bon exercice de révision. En tant qu’épreuve, en effet, on revient sur la remarque de l’introduction, c’est très guidé et l’élève à l’aise se sent presque bridé par l’énoncé qui donne vraiment beaucoup d’indications. Je pense au passage qu’il serait intéressant de faire faire l’exercice par des terminales actuelles pour voir le résultat.

En tout cas, nous voilà partis !

bac-c-1992-metropole-gr-1Télécharger
bac-1992-serie-c-metropoleTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Bac série C 1978 – Académie d’Amiens

On continue notre exploration des sujets de bac en remontant dans le temps (enfin pas trop hein ça va !) avec le sujet du bac C de 1978 dans l’académie d’Amiens. Pour ceux qui se demanderaient d’où ça sort, c’est mon année et ville de naissance.

On se rend vite compte (enfin, après 3 mots environ) qu’on n’est évidemment plus du tout dans le même genre d’épreuve qu’actuellement et c’est même assez différent de l’épreuve de 95 ! D’ailleurs, pour l’anecdote, j’avais fait remarquer que le total des points de 95 était 21 et là le total est de 19… On savait rigoler à l’époque.

Bref, on se lance sur une étude de suite… à valeurs complexes ! On fait dans la suite de cet exercice, le lien entre la série, une fonction à valeur dans C et la transformation du plan correspondante. C’est très intéressant, mais faut pas avoir mangé trop lourd juste avant.

On continue avec des probabilités. Un peu déçu par cet exercice assez basique, qui aurait d’ailleurs pu comporter une seule question, car les 2 questions sont juste 2 étapes pour répondre au calcul d’espérance. Un petite frayeur cependant, il y a une erreur dans l’énoncé, on doit calculer les E(G) et pas les E(A) ! N’étant pas grand amateur de cette partie, j’ai eu peur d’avoir loupé une notion…

On arrive finalement au plat de résistance, le problème ! Et c’est bien le terme, car le moins qu’on puisse dire c’est qu’il résiste.

Partie A : étude d’un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions et définition d’un produit scalaire « non trivial » et d’une base orthonormale. On a fini de rigoler depuis un moment déjà.

Partie B : on étudie une fonction pas si compliquée, mais qui comporte pas mal de singularités qui allongent passablement cette partie. On ne dit pas merci. On fait ensuite le lien entre cette fonction et le sous-espace vectoriel et on termine avec un calcul d’intégral ! Je pense qu’on a balayé tout le programme d’analyse dans cette partie…

Partie C : partie un peu plus légère pour terminer, une fois qu’on a passé le choc de la symétrie orthogonale dans un espace de fonctions. C’est pas dur, mais faut connaître.

En tout cas, belle expérience que ce sujet ! J’espère que vous apprécierez autant que moi. Une nouvelle fois, un grand merci à l’APMEP de mettre ces archives à disposition.

bac-c-amiens-1978Télécharger
bac-serie-c-1978-amiens-corrige-1Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Anoine

Bac métropole série S – 95

Nostalgie pour ce post avec le sujet de math du bac S de 1995 et donc l’épreuve que j’ai moi-même passée !

On notera qu’elle contient beaucoup d’analyse…

On attaque par un petit exercice sur les complexes qui porte sur le lien entre les affixes et la géométrie dans le plan.

Le 2ème, ou plutôt les 2ème, puisqu’on y fait une distinction entre spécialité ou non, porte sur du calcul d’intégrales avec étude de fonction intermédiaire pour arriver au résultat. L’exercice de spécialité introduit une suite définie par des intégrales. Heureusement, on en a déjà croisé pas mal ici ! J’ai mis les 2 exercices tant qu’à faire.

Ensuite, le plat de résistance, le problème sur 11 points (le total fait 21 points pour ceux qui ont fait attention, ça sentait déjà le début de la fin !). On y étudie les tangentes communes aux courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme. Là aussi, on passe par une fonction intermédiaire et on va s’intéresser à des propriétés numériques et géométriques de ces droites.

Cette fois encore, merci à l’APMEP de partager ces ressources !

Allez, c’est parti, on remonte 28 ans en arrière !

bac-s-metropole-1995Télécharger
bac-metropole-serie-1995-corrigeTélécharger

J’espère que ça vous aura plu, en tout cas moi ça m’a bien amusé de faire ce saut dans le temps.

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine

Bac Maroc 2023 – corrigé complet

Après un beau sujet 2022 partagé dans un post précédent, je vous propose le sujet du bac Maroc 2023.

Je ne vais pas faire long, la plupart des remarques du post de 2022 (enfin, le post est plus récent, mais vous avez l’idée !) sont également valables cette année ! Les grands thèmes sont un peu les mêmes, avec un gros exercice d’analyse pour commencer et des structures algébriques avec des matrices pour finir.

Cette année encore, chaque point (voir chaque demi-point car la plupart des questions valent moins d’un point) se mérite ! C’est d’ailleurs amusant, l’énoncé comporte quelques indications qui ne me semblent pas porter sur les points les plus saillants. Une faiblesse de l’auteur du sujet ?

Exercice 1 : analyse, avec étude de fonction avec des logarithmes et exponentielles qui se termine avec une étude de suite.

Exercice 2 : analyse avec fonctions exponentielles et suite

Exercice 3 : nombres complexes et représentation dans le plan. Attention à la dernière question, je vous conseille de rester simple, mais si dans un tel énoncé on a tendance à chercher les méthodes « avancées » en priorité…

Exercice 4 : arithmétique modulaire avec un passage par les complexes ! Très bel exercice je trouve, attention à ne pas se perdre dans certains calculs.

Exercice 5 : structures algébriques basé principalement sur les matrices 2×2. Dans le même esprit que l’an dernier, et donc même remarque : j’aime beaucoup le principe d’introduire ces concepts sur des exemples « simples ».

Allez en piste, bon courage !

bac-maroc-math-nsm-2023Télécharger
bac-maroc-maths-2023-corrigeTélécharger

Pour les courageux qui sont arrivés au bout, j’espère que le sujet vous aura plu autant qu’à moi, n’hésitez pas si vous avez des questions et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

integrations-fonction-zeta-de-riemannTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

CAPES Externe 2015 math épreuve 1 – corrigé complet

Je vous propose aujourd’hui l’épreuve 1 du CAPES externe de math 2015.

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

Problème 1 : ce problème traite de propriétés des normes des complexes et de leur interprétation géométrique. Il faut manipuler soigneusement les nombres complexes, leurs normes et les conjugués. Vous verrez qu’il y a une question qui reste à creuser, je ne suis pas à 100% convaincu par ce que j’ai écrit ! La dernière partie propose des interprétations géométriques qu’on ne croise plus beaucoup me semble-t-il, du moins que je n’ai pas beaucoup croisées pour ma part. Je trouve personnellement cette vision très intéressante.

Problème 2 : sans rapport, on bascule sur des propriétés de la moyenne de Cesaro, leurs réciproques éventuelles et des contre-exemples. Un peu de calculs et beaucoup de limites ! Attention à ce pas se mélanger les crayons dans les hypothèses (spoiler alert : ça m’est arrivé).

C’est parti pour ce nouveau sujet !

capes-2015-epreuve-1Télécharger
capes-externe-2015-epreuve-1Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

bac-tunisie-2020-mathTélécharger
bac-tunisie-2020-corrigeTélécharger

Encore plus cette fois, n’hésitez pas à me contacter pour toute question ! Et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine

Continuons l’exploration des complexes !

Je vous propose aujourd’hui 10 nouveaux exercices sur les complexes, toujours du poly de Louis-le-Grand !

On continue donc à réviser les propriétés de ces nombres, avec le module, la représentation géométrique ou encore l’argument.

Comme vous le verrez, il y a un exercice particulièrement difficile, pour lequel je propose un énoncé alternatif qui oriente la réflexion : les manipulations sur les nombres restent les mêmes, mais cela permet aux élèves qui n’auraient pas eu l’intuition de s’exercer tout de même sur les calculs, qui ne sont déjà pas triviaux.

Pour 2 autres exercices, j’ai un peu erré sur le chemin de la résolution. J’ai laissé en l’état plutôt que de faire le ménage après coup, je pense que c’est intéressant de voir des pistes alternatives plus ou moins fructueuses et surtout que même avec quelques années de recul, on peut parfois ne pas aller directement droit au but ! L’erreur ou le mauvais chemin font partie de l’apprentissage.

du-lycee-aux-cpge-10-exercices-nombres-complexes-3Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures !

Antoine