Terminale

Fonctions puissances 4 exercices

On revient pour ce post sur le poly LLG pour continuer le chapitre sur les fonctions puissances débuté il y a quelques temps. Est-ce que c’est parce que je n’ai rien d’autre sous la main ? Pas tout à fait… Mais pas loin non plus. Bref ! On embarque pour les exercices 214, 215, 216 et 217.

4 exercices dans lesquels on s’éloigne un peu du sujet de base finalement.

On va donc y croiser des comparaisons de moyenne arithmétique, harmonique ou géométrique. L’exercice 215 nous fait voyager dans l’histoire pour rencontrer les pensées de Cauchy (en faisant au passage appel à un exercice déjà vu sur ce blog)

On enchaîne avec de la géométrie pour maximiser des aires ou des volumes !

Pas vraiment des fonctions puissances, mais quand même un bon moment ! C’est parti.

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Antoine

Bac série 2011 – Métropole

Bac 2011 aujourd’hui. Pourquoi ? Aucune raison, j’ai cliqué dessus dans la série des années et pas de regret, j’ai trouvé ce sujet bien intéressant. Comme quoi, il n’y a pas si longtemps on avait encore des vrais sujets au bac ! Plongeons-nous dedans !

On commence par des probabilités et… le calcul de la fiabilité d’un test de dépistage ! Situation presque encore d’actualité (voir qui a tendance à le redevenir…). En tout cas, on y revoit les grands résultats du programme et comme souvent avec les probabilités, on y croise des résultats plutôt contre-intuitifs.

Exercice 2, un QCM, toujours sans justification. C’est bien dommage, on y parle des complexes et les justifications y sont aussi importantes que les résultats en eux-même. Comme d’habitude, en exercice d’entrainement il faut absolument justifier les résultats.

Exercice 3 : un long exercice d’analyse, avec (comme assez souvent), un premier fonction dont l’étude nous sert, en partie, dans la suite. Le sujet concerne globalement une famille de fonctions, leurs courbes et des tangentes. Partie B, on étudie la suite des intégrale correspondantes. Classique mais intéressant et varié.

Exercice 4 – hors spécialité : j’ai été assez surpris par celui-ci car c’est un exercice de géométrie dans l’espace pas trivial du tout et assez long ! Je pense que ça a dû piquer sur pas mal de copies ! Il fallait bien connaitre les grandes propriétés des distances d’un point à un plan, des droites/vecteurs orthogonaux au plan…

Et du coup, l’exercice de spécialité parait un peu fade après ça (même s’il n’y a évidemment pas eu de « après » pour les bacheliers qui n’avait qu’un des 2 à traiter). On a droit à de l’arithmétique, c’est vrai qu’on n’en voit pas si souvent, mais bon… Bref… Les résultats importants sont rappelés, donc c’est juste pour voir si les élèves ont compris les congruences en gros. Dommage !

On ne boude pas son plaisir pour autant, un sujet qui balaye large et des exercices intéressants ! A vous de jouer !

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Antoine

Bac 1997 série S – Métropole

On continue l’exploration temporelle des sujets de bac avec cette fois le sujet de 1997. Pas de grosses remarques, je trouve intéressant de regarder les exercices spécialité/non spécialité, qui sont sur cette session sur le même thème.

Commençons la revue. L’exercice 1 est sur les probabilités. Personnellement, j’ai toujours eu du mal avec ce sujet, mais comme vous l’avez peut-être remarqué, à cette époque on n’en croisait pas encore trop souvent ! Cet exercice, totalement classique, de tirage de dés m’a donc rappelé de bien mauvais souvenirs ! Mais comme c’est maintenant a peu près systématique, c’est une bonne occasion de réviser.

Exercice 2 (hors spécialité) traite de représentation de figures et de transformations dans le plan complexe. Bien qu’incapable de remettre dans la tête des élèves de l’époque, je trouve que cet exercice n’est pas du tout trivial et est intéressant pour tous les élèves de Terminale aujourd’hui. De plus, l’exercice 2 de spécialité porte sur le même sujet. A part qu’on y étudie des ellipses, je ne le trouve pas forcément plus compliqué. Du coup, les 2 exercices 2 forment une bonne revue des complexes en Terminale.

Le problème propose (enfin impose) une étude de fonction. Une revue assez large avec une fonction intermédiaire qu’on va utiliser ensuite pour étudier la dérivée de la fonction coeur du problème. Dérivation, intégration, limites, asymptotes, approximation… Tout y passe pour un problème au final assez long et pas forcément évident !

En conclusion, une épreuve très intéressante et pas si facile ! Une belle opportunité de révisions ! C’est parti !

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Antoine

Bac série C 1992 – Métropole gr 1

Nouvelle annale de bac pour ce post, avec cette fois l’épreuve passée par mon grand frère. J’avoue que je n’ai pas des caisses de commentaires à faire sur l’épreuve en elle-même, je vais juste noter la remarque faite par l’APMEP : « le sujet sans difficulté majeure, où pratique- ment tous les résultats étaient donnés, a permis dans l’académie d’Amiens d’obtenir des moyennes nettement supérieures à 10. » Bah merci ! (Enfin, évidemment, merci une nouvelle fois pour le partage des ressources !)

L’épreuve est en 2 parties : les 2 exercices principalement sur de la géométrie et le problème sur de l’analyse.

Le 1er exercice est introduit par une équation du 3ème degré à résoudre dans C. Rien de particulier, on a une solution évidente comme première étape de résolution, puis un trinôme. C’est en fait une introduction pour placer des points et étudier une ellipse dans la question 2. Je crois que ça ne se fait plus trop, à part un peu dans sa version analytique et c’est dommage quand on voit l’importance de ces figures !

2ème exercice, à nouveau de la géométrie, sur des symétries et des triangles. Exercice assez basique, à part peut-être la propriété des points cocycliques, même si je pense que la propriété utilisée est toujours vue au collège cela dit…

On arrive sur le gros morceau, le problème d’analyse : étude de fonction paramétrique, suites, limites, intégrales… Je trouve que c’est un bon exercice de révision. En tant qu’épreuve, en effet, on revient sur la remarque de l’introduction, c’est très guidé et l’élève à l’aise se sent presque bridé par l’énoncé qui donne vraiment beaucoup d’indications. Je pense au passage qu’il serait intéressant de faire faire l’exercice par des terminales actuelles pour voir le résultat.

En tout cas, nous voilà partis !

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Antoine

Bac Série C 1978 – Académie de Paris

Suite à la publication du sujet d’Amiens, que j’avais fait en particulier pour la symbolique de la date et du lieu, on m’a indiqué que certains sujets de cette année avait été bien corsés ! Pris d’un enthousiasme assez inexplicable, je me suis lancé dans le sujet de Paris, réputé parmi les pires. Eh bien, je m’en suis mordu les doigts…

On attaque sur de l’arithmétique modulaire. Bon, c’est un sujet que je n’ai pas le souvenir d’avoir étudié dans le secondaire, donc pas évident d’imaginer la réception à l’époque. En tout cas, on note déjà que le choix de travailler dans… Z/91Z peut surprendre ! On va donc résoudre une équation du second degré dans cet anneau. Bon. Si c’est intéressant (et pas si dur une fois qu’on a compris comment ça fonctionnait), il y avait plus simple que 91 pour valider la compréhension du sujet par les élèves.

Sans transition, on enchaîne sur une équation paramétrique de conique. Par défaut, ça n’est pas très compliqué, mais vu l’énoncé, il y a pas mal de cas à étudier et il faut donc faire bien attention à être exhaustif. La 2ème question propose une autre approche de la même équation et cette fois encore, la gestion des différents cas est la principale difficulté. En tout cas, ces 2 questions permettent une bonne revue du sujet.

Après ces 2 exercices loin d’être triviaux, on plonge directement en enfer ! Le problème nous propose l’étude d’une famille de fonction dépendant d’un paramètre. Pour ne pas que ça soit trop simple, on y ajoute une valeur absolue au dénominateur d’une fraction. On comprends vite que le nombre de cas à distinguer va rendre ce problème difficile à apprécier.

Pour autant la première partie donne quelques résultats sympathiques, comme les différentes formes de la courbe selon les valeurs du paramètre ainsi qu’une étude de points fixes ou de transformations affines, là-encore en faisant varier le paramètre. Sympathiques mais quand même âpres… Et encore, je me suis « aidé » de Géogébra, ce qui n’était bien sûr pas possible à l’époque. Vous verrez la longueur de la partie A, heureusement que les résultats sont intéressants.

Mais c’est après qu’on bascule dans l’horreur pour la 2ème partie du problème. Les questions sont compliquées à « comprendre » et encore plus à bien rédiger (vous pourrez noter une petite relâche si vous allez jusqu’au bout). Et si la 1ère partie nous permettait de voir des résultats intéressants, là on s’arrache les cheveux pour arriver sur une limite qui est… une fonction constante ! Je ne vois pas ce qui a motivé l’auteur du sujet à part le sadisme…

Dernière remarque, je n’ai malheureusement jamais des longues plages pour traiter ce genre de sujets, donc c’est dur de se rendre compte du temps que j’y ai passé (en comptant le temps « perdu » pour se remettre dans le sujet et le temps pour taper), mais je ne sais pas ce que j’en aurais fait en 4h !

En conclusion, à part la partie B du problème qui me laisse un goût amer, je pense que c’est un très bon sujet pour terminales (bien motiv, car il y aura des concepts à creuser par eux-mêmes) ou pour les bac +1. J’ai un autre sujet de la même cuvée, mais je vais peut-être laisser décanter un peu. Et un nouveau grand merci à l’APMEP pour les ressources partagées !

Allez, à vous de jouer !

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Antoine

Fonctions puissances 6 exercices

Dans ce post on se détend un peu après les sujets plutôt corsés de la semaine dernière en repartant dans l’exploration des fonctions puissances.

6 exercices à la suite des précédent postés sur le sujet : 208, 209, 210, 211, 212 et 213. En fait, seulement 5 nouveaux car le 209 était déjà proposé en introduction d’un problème qui utilisait le résultat de cet exercice.

Pas mal de croissances comparées, donc un tour de révision si besoin, impératif à maîtriser parfaitement.

Les 208 et 213 (en dehors du 209, je ne reviens pas dessus) sont un peu différent : dans le 208 on utilise une fonction intermédiaire dont l’étude nous amène au résultat voulu, une méthode classique. Le 213 nous fait réfléchir sur une croissance comparée, moins connue, mais idéalement à avoir en tête également.

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Antoine

Raisonnement par récurrence, un exo costaud !

… et 2 autres en bonus.

Dans ce post, je vous propose un des exercices bien corsés du poly LLG sur le raisonnement par récurrence, l’exercice 15, puis 2 autres en bonus détente sur le raisonnement par l’absurde et les racine carrées.

Alors quid de cet exercice, dont l’énoncé en plus fait 2,5 lignes ? Déjà, on a une suite définie avec avec des références aux parties entières de 3 fractions différentes du rang n concerné ! On sent dans l’instant qu’on va oublier pendant un moment toute notion de plaisir. Et c’est bien le cas.

La première question propose une minoration du terme générique. On est à la fois sur une récurrence forte et une disjonction de cas. J’ai laissé la première version de ma réponse (enfin la seule du coup), même si on peut faire plus propre. Comme ça avait été le cas pour d’autres exercices, je pense que c’est mieux de partager aussi les hésitations. Je laisse à chacun le soin de faire une belle rédaction.

La 2ème question est encore pire je vous recommande d’y réfléchir avant de regarder la réponse, ça reste une belle réflexion. J’aurais tendance à dire qu’il serait intéressant de découper en 2/3 questions pour le rendre faisable en contrôle. Là, on est encore une fois sur un poly de haut vol.

J’ai ajouté 2 exercices pour le plaisir le l’irrationalité des racines carrées, les exercices 17 et 18. Le 18 en particulier est sympa car on s’intéresse à la racine carrée de 3 (le cas le plus connu, 2, est mis en rappel sur le raisonnement par l’absurde), cas qui pourra être généralisé pour les plus motivés.

Et bon courage !

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Antoine

Bac série C 1978 – Académie d’Amiens

On continue notre exploration des sujets de bac en remontant dans le temps (enfin pas trop hein ça va !) avec le sujet du bac C de 1978 dans l’académie d’Amiens. Pour ceux qui se demanderaient d’où ça sort, c’est mon année et ville de naissance.

On se rend vite compte (enfin, après 3 mots environ) qu’on n’est évidemment plus du tout dans le même genre d’épreuve qu’actuellement et c’est même assez différent de l’épreuve de 95 ! D’ailleurs, pour l’anecdote, j’avais fait remarquer que le total des points de 95 était 21 et là le total est de 19… On savait rigoler à l’époque.

Bref, on se lance sur une étude de suite… à valeurs complexes ! On fait dans la suite de cet exercice, le lien entre la série, une fonction à valeur dans C et la transformation du plan correspondante. C’est très intéressant, mais faut pas avoir mangé trop lourd juste avant.

On continue avec des probabilités. Un peu déçu par cet exercice assez basique, qui aurait d’ailleurs pu comporter une seule question, car les 2 questions sont juste 2 étapes pour répondre au calcul d’espérance. Un petite frayeur cependant, il y a une erreur dans l’énoncé, on doit calculer les E(G) et pas les E(A) ! N’étant pas grand amateur de cette partie, j’ai eu peur d’avoir loupé une notion…

On arrive finalement au plat de résistance, le problème ! Et c’est bien le terme, car le moins qu’on puisse dire c’est qu’il résiste.

Partie A : étude d’un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions et définition d’un produit scalaire « non trivial » et d’une base orthonormale. On a fini de rigoler depuis un moment déjà.

Partie B : on étudie une fonction pas si compliquée, mais qui comporte pas mal de singularités qui allongent passablement cette partie. On ne dit pas merci. On fait ensuite le lien entre cette fonction et le sous-espace vectoriel et on termine avec un calcul d’intégral ! Je pense qu’on a balayé tout le programme d’analyse dans cette partie…

Partie C : partie un peu plus légère pour terminer, une fois qu’on a passé le choc de la symétrie orthogonale dans un espace de fonctions. C’est pas dur, mais faut connaître.

En tout cas, belle expérience que ce sujet ! J’espère que vous apprécierez autant que moi. Une nouvelle fois, un grand merci à l’APMEP de mettre ces archives à disposition.

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Anoine

Fonctions puissances – 5 exercices

Dans le post du jour, nous allons continuer à étudier les fonctions puissances avec 5 nouveaux exercices, la suite des précédents dans le poly LLG : 203, 204, 205, 206 et 207.

On va retrouver une déclinaison en étude de suite, des études de fonctions avec leurs dérivées et une étude d’optimisation de surface pour un volume donné, donc une application pratique des concepts.

C’est parti !

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Antoine

Fonctions puissances 4 exercices

On se lance dans un nouveau chapitre pour ce post rapide pour le dernier jour à la plage !

Je propose donc les 4 premiers exercices du chapitre, toujours pris dans le poly LLG. Il s’agit des 199, 200, 201 et 202.

Pas grand chose à signaler, on s’échauffe avec ces séries d’exercices, on révise les dérivées de ces fonctions. Pour le 199, on repasse aussi sur les propriétés des fonctions convexes, ça ne fait pas de mal je pense.

Allez, je vous laisse avec les exercices, je prends la route demain matin !

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Antoine