2 exercices sur les équations fonctionnelles

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices toujours extraits du livret « du lycée au CPGE ».

Je limite le nombre d’exercices, car je me rends compte qu’avec pas mal d’exercices par document il traine quelques coquilles et que c’est un peu lourd à reprendre ! Cela permettra aussi de donner quelques précisions sur les exercices quand cela est pertinent

On s’attaque donc cette fois à 2 exercices qui présentent des équations fonctionnelles. C’est un sujet qu’on ne croise pas tellement au lycée, mais qui reste tout à fait accessible et permet d’appliquer ses connaissances de façon plus abstraite, sans connaitre en détails la fonction.

C’est en tout cas à bien maîtriser en Bac +1.

L’exercice 24 est hyper classique, il y a déjà au moins 1 sujet dans lequel il est traité sur ce blog. Pas de grosse difficulté (à part comme indiqué ci-dessus, la capacité de se « représenter » les situations) et on retrouve des raisonnements usuels à maîtriser : récurrence, utilisation des ensemble de nombres, conditions de passage à la limite.

L’exercice 23 me semble un peu plus compliqué (personnellement j’aurais inversé l’ordre !) car la relation étudiée est un peu moins directe et qu’on étudie une dérivée seconde sans connaitre la fonction, ce qui n’est pas du tout courant dans le secondaire. Cependant, là encore, c’est accessible avec les notions de Terminale (peut-être même Première en fait, on utilise des notions assez simples), c’est surtout l’abstraction demandée qui est la difficulté.

Je vous laisse avec les exercices !

du-lycee-aux-cpge-ex-23-et-24Télécharger

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Antoine

Continuons l’exploration des complexes !

Je vous propose aujourd’hui 10 nouveaux exercices sur les complexes, toujours du poly de Louis-le-Grand !

On continue donc à réviser les propriétés de ces nombres, avec le module, la représentation géométrique ou encore l’argument.

Comme vous le verrez, il y a un exercice particulièrement difficile, pour lequel je propose un énoncé alternatif qui oriente la réflexion : les manipulations sur les nombres restent les mêmes, mais cela permet aux élèves qui n’auraient pas eu l’intuition de s’exercer tout de même sur les calculs, qui ne sont déjà pas triviaux.

Pour 2 autres exercices, j’ai un peu erré sur le chemin de la résolution. J’ai laissé en l’état plutôt que de faire le ménage après coup, je pense que c’est intéressant de voir des pistes alternatives plus ou moins fructueuses et surtout que même avec quelques années de recul, on peut parfois ne pas aller directement droit au but ! L’erreur ou le mauvais chemin font partie de l’apprentissage.

du-lycee-aux-cpge-10-exercices-nombres-complexes-3Télécharger

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Antoine

CAPES Interne Maths 2007

Penchons-nous aujourd’hui sur le sujet du CAPES interne de 2007 qui propose 2 problèmes que j’ai trouvé assez intéressants. Au passage, merci au site apmep.fr pour la mise à disposition de ces archives !

Le 1er problème nous propose d’étudier les fonctions sinus et cosinus hyperboliques. On va réaliser plusieurs manipulations sur ces fonctions, encadrements, développements limités et représentations graphiques. On passe en revue pas mal de concepts en peu de temps !

Le 2ème problème est un problème de géométrie qui se penche sur les propriétés des cercles inscrits et circonscrits des triangles. On va principalement travailler sur les vecteurs et les barycentres.

Je vous laisse avec le sujet !

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Antoine

Nouvelle salve d’exercices sur les complexes !

Dans ce post, je vous propose de continuer notre exploration du monde merveilleux des nombres complexes et du poly « du lycée aux CPGE » que je ne présente plus.

10 nouveaux exercices concernant le module et la représentation géométrique. Pour cette dernière, j’ai tâché d’expliquer le plus clairement possible, mais je n’ai pas inséré de représentations graphiques dans le pdf, car ça n’est pas toujours hyper simple avec Géogébra, surtout sur tablette qui est l’outil que j’utilise principalement pour rédiger les documents (je fais souvent ça le soir, mais je ne vais pas raconter ma vie !). J’encourage cependant le plus vivement possible tous les élèves qui veulent se mettre les idées au clair, et encore plus ceux qui ont découverts le concept cette année, de faire les dessins. Se faire des images des concepts me semble (enfin, pas que moi sinon ça n’aurait pas de valeur) le meilleur moyen de bien les comprendre.

Quelques calculs dans cette série, corrigez-moi bien sûr si j’ai fait des erreurs !

Edit 23/05 : Un oubli s’était glissé dans l’exercice 342 !

du-lycee-aux-cpge-10-exercices-nombres-complexes-2Télécharger

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Antoine

10 exercices sur les complexes – introduction aux complexes

Pour ce post, je vous propose les 10 premiers exercices du chapitre sur les nombres complexes du poly « du lycée au CPGE » que j’ai déjà présenté dans des posts précédents. Les numéros des exercices correspondent à ceux du poly.

Ces premiers exercices sont donc introductifs à la manipulation des complexes, principalement sous leur forme algébrique qui est celle qu’on utilise pour définir cet ensemble. Pas grand-chose à ajouter, à part qu’il faut évidemment parfaitement maîtriser ces opérations de base.

Je profite de ce post pour donner quelques éléments historique sur l’introduction de ces nombres. N’hésitez pas à creuser, les nombres complexes sont à la base de la théorie de la mécanique quantique et pilotent donc toute notre vie !

Histoire des nombres complexes (introduction)Télécharger

Je vous laisse avec les exercices !

Du Lycée aux CPGE 10 exercices sur les complexesTélécharger

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Antoine

Du Lycée aux CPGE : les 10 premiers exercices

J’ai déjà introduit dans un post précédent ce magnifique document mis à disposition par Louis-le-Grand et Henri IV, dont je rappelle le lien : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf.

Même si je propose des corrigés de certains exercices, je ne peux que vous encourager à récupérer le pdf et de profiter de l’ensemble des rappels et conseils.

Ces 10 premiers exercices sont très axés sur la récurrence et donc beaucoup sur les suites. Ils sont de difficulté modérée pour une entrée en matière en douceur…

L’ensemble est évidemment très intéressant, avec des exercices variés, des résultats classiques et un mode de raisonnement à maîtriser parfaitement à la fin de la terminale !

du-lycee-aux-cpge-10-exercices-2Télécharger

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Antoine

Un peu de calcul

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices tirés du document « du Lycée aux CPGE » proposé par des professeurs de Louis-le-Grand et Henry IV.

Ce document, accessible sur le site de Louis-le-Grand en particulier : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf, est une excellente transition entre la terminale et la prépa : il contient des rappels de cours, des méthodes à maîtriser et, évidemment, de nombreux exercices ! Plus de 500 au total, un joli programme pour les vacances post-bac.

Les 2 exercices ci-dessous, sont des exercices de calcul, pas grand-chose de particulier à en dire, à part qu’il ne faut pas se laisser impressionner par les énoncés et toujours prendre un temps de réflexion entre les étapes pour essayer de se simplifier la vie dans la mesure du possible (du moins ne pas se la compliquer).

Les numéros des exercices correspondent à ceux du pdf, ça n’est pas une lubie de ma part, si vous aviez un doute.

2-exercices-calculTélécharger

A vos calculs !

Antoine

2 études de suites définies par des intégrales

Je vous propose 2 petites études de suites dont le terme général est défini par une intégrale.

C’est toujours intéressant en maths de croiser plusieurs sujets, cela permet de mieux appréhender son niveau de maîtrise de chacun de ces chapitres.

Pour ces 2 exercices, on retrouve les questions classiques sur les suites, monotonie et limite.

Évidemment, la difficulté de ces exercices vient de la définition même de ces séries avec des intégrales. Heureusement on est sur des fonctions standards et plutôt simples à intégrer, du moins dont le comportement à l’infini est connu. Il faut passer outre le côté impressionnant de cette définition et se concentrer sur les raisonnements utilisés habituellement pour les suites (limite monotone, critère de Cauchy…) : on en retrouve un condensé ici ! Mixé avec les propriétés des fonctions exponentielles.

Je pense qu’on est plutôt sur des exercices bac + 1, mais ils devraient être accessibles avec les connaissances de terminale.

suites-definies-par-des-integralesTélécharger

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Antoine

CAPES Math externe 2023 Épreuve 1

Dans cet article et afin de vous aider à réviser votre bac, je vous propose de balayer l’épreuve de maths 1 du CAPES externe 2023.

Comme vous le savez peut-être, le CAPES est le concours de recrutement des enseignants du second degré (collège/lycée). Il n’est pas du tout question de revenir ici sur les polémiques qu’on entend tous les ans sur le niveau de ce concours, mais plutôt de regarder ce qui peut intéresser les élèves de Terminale dans cette épreuve. Et la bonne nouvelle est que la réponse est : « tout » !

Ceci pour 2 raisons :

  • Je pense (et je ne suis pas le seul) qu’on peut répondre à l’ensemble des questions avec les concepts vus au lycée. D’ailleurs, certaines questions correspondent à la démonstration de résultats standards du cours (les dérivations en particulier) ;
  • L’autre raison est simplement concernant le format avec une partie vrai/faux au début puis un problème. Le vrai/faux est un format de plus en plus présent (avec des variantes QCM) au bac et c’est donc important de s’y entrainer.

Et si on regarde plus en détails, on retrouve une variété de thèmes dont une bonne partie tombe à coup sûr aux épreuves du bac :

  • Analyse
  • Géométrie
  • Matrices (maths expert donc hors programme pour la majorité des élèves)
  • Pourcentages
  • Arithmétique
  • Dénombrement
  • Probabilités.

Le problème de son côté est dans l’ensemble accessible avec les notions de Terminale et reprend d’ailleurs des résultats classiques : fonctions logarithme et exponentielle, limites, intégrales… Il propose en plus une approche des équations fonctionnelles (équations dont les inconnues sont des fonctions), qui est un type d’exercice assez peu pratiqué.

Un peu tard pour le bac cette année, mais en préparation des études supérieures scientifiques ça peut être un bon support (ou pour ceux qui le verront à temps pour l’an prochain !).

Sujet :

capes_maths_2023_epreuve_1_dvTélécharger

Solution :

capes-2023-math-1-1Télécharger

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Antoine

Intégrales de Wallis

Pour ce premier post, je vous partage un exemple de contenu rédigé pendant un cours particulier auprès d’un élève de terminale (plutôt élève avancé qui se dirige vers une prépa).

Ce post propose un exercice corrigé classique, accessible dès la terminale malgré son côté un peu impressionnant au début.

Il s’appuie sur des concepts assez simples (intégration par parties, récurrence et propriétés des fonctions trigonométriques) ce qui permet de le rendre accessible dès la terminale en le décomposant. C’est une des raisons pour lesquelles je l’apprécie, il permet d’insister sur la méthodologie de résolution :

  • Qu’est-ce que je connais ? La dérivation « tournante » des fonctions trigonométriques et des relations entre sinus et cosinus.
  • Comment je l’applique ? L’intégration par parties ressort tout de suite comme une bonne piste.

Il peut être adapté dans le supérieur en donnant de moins en moins d’indications ou en khôle en guidant l’élève au fur et à mesure en fonction de son avancée. En prépa, c’est un classique à connaître avant les concours.

Voici l’exercice ainsi que sa solution :

integrales-de-wallisTélécharger

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Antoine