Dans cet article je propose 2 exercices à propos des polynômes du second degré (ou trinômes) qui présentent plusieurs intérêts :

• Ils introduisent des concepts très importants qui sont repris dans le supérieur sous leur forme générale.
• Cela en fait des exercices plus intéressants que ceux qu’on croise au bac ces dernières années !
• Sous une présentation plutôt abstraite, ils sont au final assez simples et s’appuient sur les concepts du programme de terminale.

Le 1er exercice concerne les polynômes interpolateurs (ou d’interpolation) de Lagrange. Il ne présente aucune difficulté particulière à part la manipulation d’expressions littérales un peu plus compliquées que celles qu’on voit habituellement.

L’idée de ces polynômes est de trouver un polynôme de degré n+1 qui passe par n points. Dans notre cas, un trinôme qui passe par 3 points donnés. Pour comprendre l’idée, si on se donne 2 points, il existe une seule droite qui va passer par ces 2 points. Cette propriété se généralise, le polynôme d’interpolation de Lagrange étant unique.

Ils sont utilisés pour divers méthode l’approximation de fonctions, comme par exemple l’approximation de trajectoires astronomiques, mais également en cryptographie pour les clés de Shamir.

Le 2ème exercice donne une démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwartz. Là encore, on utilise exclusivement des outils de terminale et le fameux delta souvent présenté de façon mécanique en classe. La difficulté est surtout liée aux notations et à l’abstraction pour se représenter les 2 familles de n membres.

Cette inégalité, nommée également inégalité triangulaire, est fondamentale dans de nombreux domaines des mathématiques en particulier l’analyse, l’algèbre linéaire ou en probabilités. On la retrouve par exemple dans le théorème de Pythagore ! On retrouve tous ces concepts dans le supérieur dans les notions de produits scalaires et de normes en particulier. Une sympathique introduction à tout cela !

N’hésitez pas à me contacter pour toute question !

Antoine