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Raisonnement par récurrence – 4 exercices

Comme promis dans le poste précédent, voici l’exercice 11 du poly LLG. Très bel exercice sur les suites récurrentes d’ordre 2 et le lien avec les trinômes. C’est toujours intéressant de faire le lien entre différents chapitres sans lien directement apparent. Cela éclaire l’exercice 133, même si le mieux était pour chacun de s’y référer directement !

J’en profite, pour glisser 3 autres exercices : le 12 qui est sur le même thème, mais avec un trinôme à racine unique. Le 13 parce qu’il était juste avant le 14 que je voulais vous partager également. C’est un exercice « historique », puisqu’il présente la façon d’utiliser les fractions par les égyptiens. Évidemment, la démonstration qu’on va voir n’a pas grand chose à voir avec leur façon d’appréhender les choses, mais c’est un bon exercice d’entraînement sur la récurrence.

A vous de jouer !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Calcul de limites, la suite…

Pour ce post, on continue le chapitre sur les limites du poly Louis-le-Grand avec 4 nouveaux exercices de calcul de limites, principalement sur des suites. Il s’agit des exercices 133 à 136.

On y trouve un peu de trigonométrie, l’introduction de suites intermédiaires pour se simplifier la vie, mais aussi une référence à l’exercice 11 que je pensais avoir déjà partagé alors que ça n’est pas le cas ! Honte à moi, ça sera pour le prochain post.

Allez hop, on y retourne !

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Antoine

Bac métropole série S – 95

Nostalgie pour ce post avec le sujet de math du bac S de 1995 et donc l’épreuve que j’ai moi-même passée !

On notera qu’elle contient beaucoup d’analyse…

On attaque par un petit exercice sur les complexes qui porte sur le lien entre les affixes et la géométrie dans le plan.

Le 2ème, ou plutôt les 2ème, puisqu’on y fait une distinction entre spécialité ou non, porte sur du calcul d’intégrales avec étude de fonction intermédiaire pour arriver au résultat. L’exercice de spécialité introduit une suite définie par des intégrales. Heureusement, on en a déjà croisé pas mal ici ! J’ai mis les 2 exercices tant qu’à faire.

Ensuite, le plat de résistance, le problème sur 11 points (le total fait 21 points pour ceux qui ont fait attention, ça sentait déjà le début de la fin !). On y étudie les tangentes communes aux courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme. Là aussi, on passe par une fonction intermédiaire et on va s’intéresser à des propriétés numériques et géométriques de ces droites.

Cette fois encore, merci à l’APMEP de partager ces ressources !

Allez, c’est parti, on remonte 28 ans en arrière !

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J’espère que ça vous aura plu, en tout cas moi ça m’a bien amusé de faire ce saut dans le temps.

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Antoine

Tle vers CPGE – Calcul de limites – 4 exercices

Quelques exercices depuis la plage, farniente et limites !

Toujours la même source et comme d’habitude des variations intéressantes sur le thème. Si on retrouve des classiques tel que la mise en exergue du terme dominant (bref, la mise en facteur, mais la phrase ne sonnait pas bien du tout, vous pouvez la reconstituer…), on va aussi voir sous un nouvel angle les coefficients binomiaux.

En avant la limite !

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Antoine

Assas – test d’admission en 2ème année du collège d’économie (épreuve d’analyse)

Assas ? Economie ? C’est quoi le rapport ? Bonne question… En fait, je ne sais d’ailleurs même plus trop où j’ai récupéré ce sujet, certainement sur un Discord quelconque !

Mais peu importe ! J’ai trouvé ces 3 exercices assez intéressants sur les suites, fonctions et intégrales. Je ne sais pas exactement combien de temps était prévu pour ce test d’ailleurs. 1h ? 1h30 ? probablement pas plus, car ça reste assez court. On est un peu au-delà de la Terminale, même si la plupart des questions peuvent être résolus avec les connaissances Maths Expertes.

On commence par une étude de suite, liée à une intégrale qui va servir d’intermédiaire vers le résultat final. Une étude de fonction dans l’exercice 2 et des 2 petites questions « diverses » d’analyse en dessert.

Amusez-vous bien !

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Antoine

Intégration par parties

Paragraphe 8.4 de notre compagnon de l’été (oui, le livret Louis le Grand si vous aviez un doute), quelques exercices sur l’intégration par parties.

C’est un outil indispensable pour les exercices sur les intégrales et on retrouve dans ces exercices les fonctions traditionnelles trigonométriques, exponentielles (à dériver ou primitiver) et les polynômes (plutôt à dériver pour arriver jusqu’à une constante). Je trouve toujours cette méthode assez fascinante, car c’est un outil très puissant basé simplement sur la dérivée d’un produit de fonctions : (uv)’=u’v+v’u !

On va retrouver ci-dessous les exercices 237 à 243. Le 243 est déjà dans un autre post, car il était introductif au problème que l’on y considérait, mais je le remets ici dans son paragraphe d’origine.

Évidemment, et même si je ne le remets pas à chaque fois, je vous conseille d’aller lire les rappels de cours donnés dans le poly qui ne pourront pas faire de mal, même si vous savez résoudre les exercices.

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Toujours à dispo et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

2 exercices (209 et 231) sur les inégalités

Dans ce post, on repart à l’assaut du livret Louis-le-Grand avec 2 exercices sur les inégalités (d’où le titre…), les 209 et 231, dont je trouve l’enchaînement intéressant pour 2 raisons : déjà on utilise le résultat du premier donc autant les présenter ensemble et la méthode est la même dans les 2, à savoir qu’on n’introduit une fonction intermédiaire dont le comportement nous permet d’arriver à la conclusion cherchée.

Il y a d’abord l’inégalité de Young avec un produit de réels, puis l’inégalité d’Hölder sur des intégrales. On remarquera au passage que le 2ème résultat est une généralisation de l’inégalité de Cauchy-Schwartz (et si on ne le remarque pas, c’est indiqué dans l’énoncé). On avait d’ailleurs déjà traité ce cas dans un autre exercice, qui est d’ailleurs basé sur le même principe, mais avec l’étude d’un trinôme cette fois, ce qui était donc plus aisé.

Je vous laisse donc avec ces 2 exercices, pas si compliqués en soi, mais avec des expressions un peu lourdes à manipuler dans le 2ème qui est une complication en soi.

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Antoine

1ère vers Terminale : calcul littéral

Il en faut pour tout le monde, on remonte donc un peu par rapport aux précédents posts pour s’intéresser cette fois à des exercices niveau 1ère spé maths en préparation du passage en Terminale.

Ils sont issus d’un livret proposé au lycée Bascan de Rambouillet. Je ne connais pas ce lycée et je ne sais plus où j’ai trouvé ce livret, mais il est plutôt intéressant, merci à ses auteurs !

On est sur des classiques de ce niveau : des trinômes, des inégalités, des sommes… J’ai trouvé l’assortiment de ce premier chapitre pertinent et je vous le partage donc.

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Antoine

Intégrales – partiel L2 Sorbonne Université 2012

On change de style pour ce post avec un partiel de L2 de l’UE LM250 de Sorbonne Université (Jussieu) en 2012.

Je propose ces 3 exercices ici car ils sont assez guidés donc réalisables il me semble en Terminale si on est chaud ou au moins en bac +1. De plus, l’énoncé comporte une fiche de rappels de cours qui est intéressante.

On est sur de l’étude de convergence et de la manipulation de suites. Je n’en dis pas plus, finalement l’essentiel est dans les rappels de cours !

A vous de jouer !

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Antoine

Bac Maroc 2023 – corrigé complet

Après un beau sujet 2022 partagé dans un post précédent, je vous propose le sujet du bac Maroc 2023.

Je ne vais pas faire long, la plupart des remarques du post de 2022 (enfin, le post est plus récent, mais vous avez l’idée !) sont également valables cette année ! Les grands thèmes sont un peu les mêmes, avec un gros exercice d’analyse pour commencer et des structures algébriques avec des matrices pour finir.

Cette année encore, chaque point (voir chaque demi-point car la plupart des questions valent moins d’un point) se mérite ! C’est d’ailleurs amusant, l’énoncé comporte quelques indications qui ne me semblent pas porter sur les points les plus saillants. Une faiblesse de l’auteur du sujet ?

Exercice 1 : analyse, avec étude de fonction avec des logarithmes et exponentielles qui se termine avec une étude de suite.

Exercice 2 : analyse avec fonctions exponentielles et suite

Exercice 3 : nombres complexes et représentation dans le plan. Attention à la dernière question, je vous conseille de rester simple, mais si dans un tel énoncé on a tendance à chercher les méthodes « avancées » en priorité…

Exercice 4 : arithmétique modulaire avec un passage par les complexes ! Très bel exercice je trouve, attention à ne pas se perdre dans certains calculs.

Exercice 5 : structures algébriques basé principalement sur les matrices 2×2. Dans le même esprit que l’an dernier, et donc même remarque : j’aime beaucoup le principe d’introduire ces concepts sur des exemples « simples ».

Allez en piste, bon courage !

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Pour les courageux qui sont arrivés au bout, j’espère que le sujet vous aura plu autant qu’à moi, n’hésitez pas si vous avez des questions et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine