géométrie

Brevet 1978 – académie de Paris – corrigé complet

Pour péparer Noël, je vous propose un nouveau sujet sorti du passé : l’épreuve du brevet de l’académie de Paris en 1978. L’épreuve est séparée en 2 parties, algèbre et géométrie.

La partie algèbre propose d’étudier quelques propriétés de polynômes du second degré uniquement avec des outils simples, ainsi qu’une fraction rationnelle composée de ces polynômes. Je trouve que cet exercice est intéressant car si je pense que ça serait une boucherie en épreuve de brevet de nos jours, les outils à utiliser sont à disposition dans le programme de 3ème.

L’exercice de géométrie utilisent pas mal de propriétés des vecteurs, qui sont introduits en 2nde, donc plus du tout accessible en 3ème. Cependant, on pourrait imaginer le reformuler en restant proche mais uniquement avec la géométrie du collège.

À noter, et j’espère que ça n’était pas le cas pour les candidats de l’époque, il y a 2 fautes de frappe dans le 2ème exercice : un point M fantôme est introduit à la question 2 et à la question 4, il faut prendre DE = 4i-4j et pas 4i-j.

En conclusion, même si on pourrait transformer ce sujet en défi pour des élèves de fin de 3ème, les programmes actuels en font plutôt un bon sujet sérieux de 2nde où tous les points sont dans le programme.

À l’attaque !

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Antoine

Seconde – les vecteurs – 1ère partie

Dans ce post, nous allons introduire la notion de vecteur telle qu’elle est vue en seconde. On est dans cette classe à la croisée entre la géométrie et l’algèbre et on peut par ce biais se représenter visuellement les résultats qu’on obtient pas le calcul.

C’est une notion indispensable car elle évolue plus tard dans la notion d’algèbre linéaire et pour citer Wikipédia : « Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. En ce sens, un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, c’est-à-dire qu’il est possible d’effectuer les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire (par un nombre), et que ces opérations ont de bonnes propriétés. » Tout un programme !

Ça doit évidemment être répété au fur et à mesure qu’on avance sur le merveilleux chemin de l’algèbre linéaire, mais on ne peut pas trop insister sur l’importance de cette notion et sur le fait, justement, qu’on peut souvent la rapprocher d’une représentation assez simple dans le plan ou dans l’espace.

Dans cette première partie on revoit les définitions et propriétés de base. On se rend compte qu’il y a tout de même un nombre assez important de nouveautés avec lesquelles il faut se familiariser. Ne pas hésiter à multiplier les exercices pour s’assurer de la bonne maitrise.

Les exercices justement, j’en ai mis 4 ici. 2 en particulier permettent de bien faire le lien entre la vision géométrique (le « dessin ») et la vision algébrique (le calcul) de la même question. Si j’ai trouvé que ça faisait une bonne revue des notions évoquées, je ne prétends pas du tout qu’ils sont exhaustifs et comme je le disais dans la paragraphe précédent, il faut en faire le plus possible. On en trouve facilement sur internet !

Pour les vecteurs, suivez la flèche !

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Antoine

Bac série S 1996 – Métropole groupe II

Nouveau sujet de bac dans ce post, avec le sujet de métropole groupe 2 (je ne sais pas trop où c’est du coup…) en 1996.

On attaque sur un exercice de probabilités avec 2 sacs de 5 boules. On revoit une bonne partie des questions classiques avec le dénombrement de différentes combinaisons, la description d’une loi de probabilité, des probabilités conditionnelles et un loi binômiale pour terminer !

On continue sur l’exercice d’enseignement obligatoire qui porte sur les complexes (dommage de se dire qu’aujourd’hui ce monde merveilleux est réservé à ceux qui prennent maths expertes !). Comme dans d’autres exercices déjà croisés, on est surtout sur l’interprétation géométrique des affixes et transformations du plan : on mélange donc des calculs et l’interprétation du résultat, c’est toujours intéressant !

L’exercice de spécialité est pour sa part un exercice de géométrie. Et… bah franchement, pas grand-chose à voir ! Rien de bien intéressant, la question 2.b à la limite. Quel dommage et surprise par rapport à l’exercice précédent.

On finit sur du classique, un problème d’analyse avec des exponentiels, des études de fonctions et un peu d’intégrales pour finir. Un peu d’originalité avec le f+f^2, sympa !

Encore un bon sujet, qui doit être accessible pour les terminales actuelles et plus intéressant que les annales des dernières années !

À vous de jouer…

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Antoine

Brevet 1980 – Amiens

On repart au collège avec l’épreuve du brevet de l’académie d’Amiens en 1980.

Autant pour les épreuves récentes je pense qu’on peut les attaquer pendant la 4ème, autant là, je pense que c’est déjà compliqué pour un élève de 3ème actuel, voir même en 2nde.

L’épreuve se compose de 2 exercices, un d’algèbre et un d’analyse.

L’exercice d’algèbre va tourner autour de l’étude de 2 trinômes présentés sous des formes alambiquées. On va donc développer, factoriser, chercher les racines et étudier brièvement la fraction rationnelle formée par ces 2 trinômes. On peut déjà faire pas mal de choses avec des outils assez simples !

On passe à la géométrie. Des triangles, Thales, Pythagore, des propriétés des cercles circonscrits. Tout ce qu’on attend de ce genre d’exercice. Je pense que tout ce qui est nécessaire est encore au programme d’ailleurs.

À vous de jouer !

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Antoine

Bac série S 1995 – Pondichéry

On continue aujourd’hui notre exploration des sujets de bac en voyageant cette fois dans l’espace en plus du temps pour nous en 1995, époque qu’on connait déjà bien et en Inde à Pondichéry. Nous voilà donc au bord de l’océan indien pour les prochaines heures. Vous noterez que je n’ai traité que les exercices de spécialité, sans aucune raison à part une forme de flemme. J’avoue…

On attaque donc sur un exercice de complexes et leur représentation géométrique. Comme d’hab, on n’insiste jamais trop sur l’importance des complexes pour les études scientifiques dans le supérieur. Rien de particulier, à part une question où je suis parti sur une méthode calculatoire proche de l’enfer. Il est peut-être possible de faire autrement, n’hésitez pas à me dire si vous avez d’autres idées !

J’ai donc zappé l’exercice de probabilités. Mais j’encourage tout de même à le faire.

On continue donc sur l’exercice de géométrie avec des triangles et des transformations. Les concepts revus ici sont donc plutôt simples, mais ils sont à bien maîtriser, c’est là où l’exercice est intéressant.

On finit sur un problème d’analyse. Si vous avez déjà suivi les sujets précédents, on retrouve un peu toujours les même sujets, de l’exponentiel, de la dérivation, de l’intégration, des valeurs approchées de racines. Bref, à force tout le monde doit être très à l’aise !

Lançons-nous !

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Antoine

Bac série 2011 – Métropole

Bac 2011 aujourd’hui. Pourquoi ? Aucune raison, j’ai cliqué dessus dans la série des années et pas de regret, j’ai trouvé ce sujet bien intéressant. Comme quoi, il n’y a pas si longtemps on avait encore des vrais sujets au bac ! Plongeons-nous dedans !

On commence par des probabilités et… le calcul de la fiabilité d’un test de dépistage ! Situation presque encore d’actualité (voir qui a tendance à le redevenir…). En tout cas, on y revoit les grands résultats du programme et comme souvent avec les probabilités, on y croise des résultats plutôt contre-intuitifs.

Exercice 2, un QCM, toujours sans justification. C’est bien dommage, on y parle des complexes et les justifications y sont aussi importantes que les résultats en eux-même. Comme d’habitude, en exercice d’entrainement il faut absolument justifier les résultats.

Exercice 3 : un long exercice d’analyse, avec (comme assez souvent), un premier fonction dont l’étude nous sert, en partie, dans la suite. Le sujet concerne globalement une famille de fonctions, leurs courbes et des tangentes. Partie B, on étudie la suite des intégrale correspondantes. Classique mais intéressant et varié.

Exercice 4 – hors spécialité : j’ai été assez surpris par celui-ci car c’est un exercice de géométrie dans l’espace pas trivial du tout et assez long ! Je pense que ça a dû piquer sur pas mal de copies ! Il fallait bien connaitre les grandes propriétés des distances d’un point à un plan, des droites/vecteurs orthogonaux au plan…

Et du coup, l’exercice de spécialité parait un peu fade après ça (même s’il n’y a évidemment pas eu de « après » pour les bacheliers qui n’avait qu’un des 2 à traiter). On a droit à de l’arithmétique, c’est vrai qu’on n’en voit pas si souvent, mais bon… Bref… Les résultats importants sont rappelés, donc c’est juste pour voir si les élèves ont compris les congruences en gros. Dommage !

On ne boude pas son plaisir pour autant, un sujet qui balaye large et des exercices intéressants ! A vous de jouer !

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Antoine

Brevet 2007 – Métropole

On revient au collège pour ce post avec l’épreuve du brevet de 2007 en métropole. Voilà, rien à dire en intro…

L’épreuve est composée de 3 parties, activités numériques, activités géométriques et un problème. Le problème étant pour cette fois de la géométrie, ça fait une bonne révision de cette partie ! Et comme pour les sujets précédents, une bonne partie des questions doit être accessible en 4ème, donc n’hésitez pas à tenter même avant la 3ème.

Pour la partie numérique, on attaque sur un QCM… sans justification… Autant le dire, je pense que le QCM sans justification est la pire ignominie qui soit arrivée aux mathématiques du secondaire, car c’est vraiment l’opposé de ce qu’on doit apprendre aux élèves, qui est de maîtriser et comprendre les concepts et pas de répondre plus ou moins au hasard en espérant gratter des points. Bref ! Evidemment, j’ai ajouté quelques lignes de justification et j’encourage tout le monde à faire de même, sinon, autant passer directement à la suite.

La suite justement, un petit exercice d’algorithmique, que j’ai trouvé plutôt sympa. Personnellement j’aime autant ça que les question en « scratch » sur papier, bien que je sois un fervent partisan de scratch pour l’apprentissage de la programmation !

On bascule sur la géométrie. Beaucoup (beaucoup) de Pythagore en direct et réciproque, un peu de Thales au milieu de tout ça. J’ai bien aimé le problème avec un angle qui varie dans une figure.

Allez les collégiens, on se prépare pour la rentrée !

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Antoine

Bac série C 1992 – Métropole gr 1

Nouvelle annale de bac pour ce post, avec cette fois l’épreuve passée par mon grand frère. J’avoue que je n’ai pas des caisses de commentaires à faire sur l’épreuve en elle-même, je vais juste noter la remarque faite par l’APMEP : « le sujet sans difficulté majeure, où pratique- ment tous les résultats étaient donnés, a permis dans l’académie d’Amiens d’obtenir des moyennes nettement supérieures à 10. » Bah merci ! (Enfin, évidemment, merci une nouvelle fois pour le partage des ressources !)

L’épreuve est en 2 parties : les 2 exercices principalement sur de la géométrie et le problème sur de l’analyse.

Le 1er exercice est introduit par une équation du 3ème degré à résoudre dans C. Rien de particulier, on a une solution évidente comme première étape de résolution, puis un trinôme. C’est en fait une introduction pour placer des points et étudier une ellipse dans la question 2. Je crois que ça ne se fait plus trop, à part un peu dans sa version analytique et c’est dommage quand on voit l’importance de ces figures !

2ème exercice, à nouveau de la géométrie, sur des symétries et des triangles. Exercice assez basique, à part peut-être la propriété des points cocycliques, même si je pense que la propriété utilisée est toujours vue au collège cela dit…

On arrive sur le gros morceau, le problème d’analyse : étude de fonction paramétrique, suites, limites, intégrales… Je trouve que c’est un bon exercice de révision. En tant qu’épreuve, en effet, on revient sur la remarque de l’introduction, c’est très guidé et l’élève à l’aise se sent presque bridé par l’énoncé qui donne vraiment beaucoup d’indications. Je pense au passage qu’il serait intéressant de faire faire l’exercice par des terminales actuelles pour voir le résultat.

En tout cas, nous voilà partis !

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Antoine

Brevet 1992 – Académie d’Amiens

J’ai un peu hésité à refaire des sujets de brevet car le ratio temps de réflexion / temps de rédaction est assez défavorable. Mais finalement, le bien commun a pris le dessus, car cela permet une revue des concepts du collège.

J’ai choisi 92 à Amiens, je vous laisse faire le calcul si vous avez vu le post sur le bac 95, mais sinon, c’est l’épreuve que j’ai passée. Nostalgie… enfin je n’ai plus ou moins aucun souvenir en fait, à part vaguement le graphique du 2ème exercice… Bref, regardons de quoi il retourne !

Le premier exercice est de l’écriture algébrique autour d’un trinôme. On va trouver plusieurs écritures, le calcul des racines et un tableau de valeur. L’idée de l’exercice est intéressante, mais je trouve un peu dommage qu’on ne fasse pas le lien entre les 3 questions : on cherche les racines sous la forme factorisée alors qu’on aurait poser la question avec la forme développer pour voir si les élèves font bien le lien avec la forme factorisée qui a été vue dans la 1ère question. Idem pour le tableau de valeur, on aurait bien voulu voir apparaitre les racines et des valeurs négatives…

Le 2ème exercice est de la lecture graphique, rien à signaler. Je n’ai jamais aimé ce genre d’exercice. J’espère juste que ça fait des points faciles pour tout le monde !

3ème exercice, quelques calculs autour des racines carrées. Pas grand chose à dire, on revoit différents développements ou factorisations avec les racines.

On passe sur la géométrie. Premier exercice sur les vecteurs où on revoit des propriétés « basiques » sur les images via une translation et les droites parallèles ou perpendiculaires. Là-encore, quelques résultats basiques à maîtriser parfaitement.

2ème exercice, pourcentages. Bon… Je ne vois pas trop l’intérêt ni le rapport (enfin, on utilise des angles pour représenter les résultats dans un hémicycle. OK…

3ème exercice, on revient sur des choses plus intéressantes avec des calculs de mesure et d’angles sur un figure dans l’espace. Pas très dur, mais on voit la différence avec le sujet de cette année où on est dans le plan et toutes les informations nécessaires sont directement données dans l’énoncé.

On finit sur un petit problème d’aires et de volumes dépendants d’un paramètre. A nouveau, pas de difficulté majeure, mais il faut connaitre les formules !

Au final, un bon ensemble de révisions pour attaquer le lycée ! A vous de jouer !

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Antoine

Brevet 2023 – Amérique du Nord

On fait baisser la pression aujourd’hui avec ce sujet du brevet des collèges de cette année dans sa version Amérique du Nord. Pourquoi Amérique du Nord me direz-vous ? Eh bien, sans aucune raison ! Le pdf de l’APMEP regroupe tous les sujets de l’année et le premier est donc… Amérique du Nord, bravo !

Je vous propose donc ce sujet, que je trouve sans grande ambition, pour réviser un peu le programme de collège. Je pense qu’on peut en faire 80% au moins en fin de 4ème, donc c’est une bonne petite révision avant la rentrée en 3ème ou 2nde. En tous cas, il faut s’assurer de parfaitement tout maîtriser avant d’arriver au lycée.

Qu’y trouve-t’on ? 5 petites questions variées dans l’exercice 1. Pas grand chose à dire, on est sur des questions de cours. On ne doit pas hésiter sur les formules !

Un peu de géométrie du triangle ensuite, à base de Thalès et Pythagore. Là encore, on est sur les bases à connaitre par coeur.

Des statistiques pour l’exercice 3. On passe…

Un peu de scratch ensuite ! Ça me change, ça n’existait pas de mon temps. Bon du coup, sur une feuille c’est un peu moins rigolo. J’encourage à refaire les dessins sur son ordinateur, pour pratiquer un peu.

Dernier exercice, un peu de calcul de périmètres et aires, des vitesses, bref, toujours les bases !

Au final, une bonne petite révision de fin de collège, accessible dès la 4ème pour voir où on en est avant la rentrée (qui approche d’ailleurs…)

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Antoine