Bac +1

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

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Antoine

CAPES Externe 2015 math épreuve 1 – corrigé complet

Je vous propose aujourd’hui l’épreuve 1 du CAPES externe de math 2015.

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

Problème 1 : ce problème traite de propriétés des normes des complexes et de leur interprétation géométrique. Il faut manipuler soigneusement les nombres complexes, leurs normes et les conjugués. Vous verrez qu’il y a une question qui reste à creuser, je ne suis pas à 100% convaincu par ce que j’ai écrit ! La dernière partie propose des interprétations géométriques qu’on ne croise plus beaucoup me semble-t-il, du moins que je n’ai pas beaucoup croisées pour ma part. Je trouve personnellement cette vision très intéressante.

Problème 2 : sans rapport, on bascule sur des propriétés de la moyenne de Cesaro, leurs réciproques éventuelles et des contre-exemples. Un peu de calculs et beaucoup de limites ! Attention à ce pas se mélanger les crayons dans les hypothèses (spoiler alert : ça m’est arrivé).

C’est parti pour ce nouveau sujet !

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Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

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Antoine

Analyse – Bac Tunisie 2020 Ex. 4

Pour ce post, je vous partage l’exercice 4 du Bac Tunisie 2020.

C’est un exercice d’analyse que je sépare du reste car il est déjà assez long en lui-même.

Il est très intéressant car il couvre une grande partie du programme : dérivation, intégration, limites, limite monotone, les gendarmes ! Et ce que j’apprécie particulièrement, c’est qu’on reste sur des concepts assez simples (la fonction étudiées est une composée de racine et exponentielle), mais que pour autant l’exercice n’est pas du tout trivial.

Le début de la question 3 est un peu plus ardu avec une intégration par parties qui comprend un calcul un peu lourd. Ça me semble (malheureusement) bien loin de ce qu’on demande au bac, en France, actuellement, mais c’est indispensable à maîtriser pour le supérieur.

Je vous laisse avec l’exercice !

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Antoine

2 exercices sur les équations fonctionnelles

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices toujours extraits du livret « du lycée au CPGE ».

Je limite le nombre d’exercices, car je me rends compte qu’avec pas mal d’exercices par document il traine quelques coquilles et que c’est un peu lourd à reprendre ! Cela permettra aussi de donner quelques précisions sur les exercices quand cela est pertinent

On s’attaque donc cette fois à 2 exercices qui présentent des équations fonctionnelles. C’est un sujet qu’on ne croise pas tellement au lycée, mais qui reste tout à fait accessible et permet d’appliquer ses connaissances de façon plus abstraite, sans connaitre en détails la fonction.

C’est en tout cas à bien maîtriser en Bac +1.

L’exercice 24 est hyper classique, il y a déjà au moins 1 sujet dans lequel il est traité sur ce blog. Pas de grosse difficulté (à part comme indiqué ci-dessus, la capacité de se « représenter » les situations) et on retrouve des raisonnements usuels à maîtriser : récurrence, utilisation des ensemble de nombres, conditions de passage à la limite.

L’exercice 23 me semble un peu plus compliqué (personnellement j’aurais inversé l’ordre !) car la relation étudiée est un peu moins directe et qu’on étudie une dérivée seconde sans connaitre la fonction, ce qui n’est pas du tout courant dans le secondaire. Cependant, là encore, c’est accessible avec les notions de Terminale (peut-être même Première en fait, on utilise des notions assez simples), c’est surtout l’abstraction demandée qui est la difficulté.

Je vous laisse avec les exercices !

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Antoine

CAPES Interne Maths 2007

Penchons-nous aujourd’hui sur le sujet du CAPES interne de 2007 qui propose 2 problèmes que j’ai trouvé assez intéressants. Au passage, merci au site apmep.fr pour la mise à disposition de ces archives !

Le 1er problème nous propose d’étudier les fonctions sinus et cosinus hyperboliques. On va réaliser plusieurs manipulations sur ces fonctions, encadrements, développements limités et représentations graphiques. On passe en revue pas mal de concepts en peu de temps !

Le 2ème problème est un problème de géométrie qui se penche sur les propriétés des cercles inscrits et circonscrits des triangles. On va principalement travailler sur les vecteurs et les barycentres.

Je vous laisse avec le sujet !

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Antoine

10 exercices sur les complexes – introduction aux complexes

Pour ce post, je vous propose les 10 premiers exercices du chapitre sur les nombres complexes du poly « du lycée au CPGE » que j’ai déjà présenté dans des posts précédents. Les numéros des exercices correspondent à ceux du poly.

Ces premiers exercices sont donc introductifs à la manipulation des complexes, principalement sous leur forme algébrique qui est celle qu’on utilise pour définir cet ensemble. Pas grand-chose à ajouter, à part qu’il faut évidemment parfaitement maîtriser ces opérations de base.

Je profite de ce post pour donner quelques éléments historique sur l’introduction de ces nombres. N’hésitez pas à creuser, les nombres complexes sont à la base de la théorie de la mécanique quantique et pilotent donc toute notre vie !

Histoire des nombres complexes (introduction)Télécharger

Je vous laisse avec les exercices !

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Antoine

Du Lycée aux CPGE : les 10 premiers exercices

J’ai déjà introduit dans un post précédent ce magnifique document mis à disposition par Louis-le-Grand et Henri IV, dont je rappelle le lien : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf.

Même si je propose des corrigés de certains exercices, je ne peux que vous encourager à récupérer le pdf et de profiter de l’ensemble des rappels et conseils.

Ces 10 premiers exercices sont très axés sur la récurrence et donc beaucoup sur les suites. Ils sont de difficulté modérée pour une entrée en matière en douceur…

L’ensemble est évidemment très intéressant, avec des exercices variés, des résultats classiques et un mode de raisonnement à maîtriser parfaitement à la fin de la terminale !

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Antoine

2 études de suites définies par des intégrales

Je vous propose 2 petites études de suites dont le terme général est défini par une intégrale.

C’est toujours intéressant en maths de croiser plusieurs sujets, cela permet de mieux appréhender son niveau de maîtrise de chacun de ces chapitres.

Pour ces 2 exercices, on retrouve les questions classiques sur les suites, monotonie et limite.

Évidemment, la difficulté de ces exercices vient de la définition même de ces séries avec des intégrales. Heureusement on est sur des fonctions standards et plutôt simples à intégrer, du moins dont le comportement à l’infini est connu. Il faut passer outre le côté impressionnant de cette définition et se concentrer sur les raisonnements utilisés habituellement pour les suites (limite monotone, critère de Cauchy…) : on en retrouve un condensé ici ! Mixé avec les propriétés des fonctions exponentielles.

Je pense qu’on est plutôt sur des exercices bac + 1, mais ils devraient être accessibles avec les connaissances de terminale.

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Antoine

Intégrales de Wallis

Pour ce premier post, je vous partage un exemple de contenu rédigé pendant un cours particulier auprès d’un élève de terminale (plutôt élève avancé qui se dirige vers une prépa).

Ce post propose un exercice corrigé classique, accessible dès la terminale malgré son côté un peu impressionnant au début.

Il s’appuie sur des concepts assez simples (intégration par parties, récurrence et propriétés des fonctions trigonométriques) ce qui permet de le rendre accessible dès la terminale en le décomposant. C’est une des raisons pour lesquelles je l’apprécie, il permet d’insister sur la méthodologie de résolution :

  • Qu’est-ce que je connais ? La dérivation « tournante » des fonctions trigonométriques et des relations entre sinus et cosinus.
  • Comment je l’applique ? L’intégration par parties ressort tout de suite comme une bonne piste.

Il peut être adapté dans le supérieur en donnant de moins en moins d’indications ou en khôle en guidant l’élève au fur et à mesure en fonction de son avancée. En prépa, c’est un classique à connaître avant les concours.

Voici l’exercice ainsi que sa solution :

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Antoine