Intégrales

Bac 2024 – Métropole 1 – corrigé

Je vous propose aujourd’hui le corrigé de l’épreuve « jour 1 » de l’épreuve de spécialité maths en métropole. Cette année encore ça aura fait beaucoup parler, mais assez différemment de l’an dernier, certains l’ayant trouvés trop dure. Alors qu’en est-il ? Voyons ça tout de suite.

On attaque avec un VRAI/FAUX, d’échauffement : 2 questions sur une fonction exponentielle et 2 questions sur des suites. Des questions de cours non triviales, à maîtriser pour marquer les points.

On enchaine sur un des gros morceaux du sujet : les probabilités. On commence sur du très classique : arbre de probabilités, probabilités conditionnelles et loi binomiale, comme dans tous les autres sujets ! La dernière question fait partie de celles qui ont fait parler : l’inégalité de Bienaymé-Tchebichev. Pour le coup, pas vraiment attendu, mais un très beau résultat de probabilité, ça fait plaisir de la croiser ! Enfin, pour les élèves moins j’imagine, elle n’est pas forcément évidente à manipuler et pas sûr que les profs aient le temps d’insister dessus.

Géométrie dans l’espace pour l’exercice 3, là encore assez attendu car proche de ce qu’on a croisé dans les autres sujets. Pas grand chose à dire, à part là aussi la dernière question pour laquelle il faut avoir la bonne idée, sinon c’est bien plus compliqué !

On finit par un exercice d’analyse avec une étude de fonction dont le but est d’arriver sur un calcul d’intégrale. C’est surtout cet exercice qui a pas mal fait causer, mais je ne comprends complètement, la majorité de l’exercice est là encore très classique, même s’il faut manipuler du f\left( \frac{1}{x} \right) . Idem pour l’intégrale à calculer, c’est une intégration par partie, rien d’impossible. Je ne tiens pas non plus à passer pour un vieux con depuis mon canapé et pour préciser ma pensée, le sujet était passablement plus dur que ces dernières années et les réactions me semblent surtout mettre en avant que les élèves s’attendaient à une épreuve bidon. Désolé pour eux ! Je ne connais pas le barème, mais la majorité des questions restent dans le cadre du cours et de ce qu’on peut trouver dans les exercices classiques des annales. Une bonne source de révisions pour les prochains !

Le sujet :

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Le corrigé :

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Antoine

Bac SM 2024 – Maroc – corrigé complet

Le petit plaisir de l’année est donc sorti il y a quelques jours ! C’est désormais une forme de tradition, le sujet du bac marocain fait pas mal parler en France. Probablement à raison, mais là n’est pas l’affaire, c’est encore du lourd cette année ! Ne tardons pas plus.

Comme ces dernières années, on attaque avec un gros exercice d’analyse. On étudie une fonction plutôt simple en apparence mais qui nous réserve bien des surprises, et plutôt des mauvaises bien sûr ! Changement de variable pour calculer des limites, limite de taux d’accroissement. On remarquera que même quand l’énoncé donne une indication, son utilisation n’est pas triviale. On passe par du calcul intégral pour étudier le sens de variation (surprenant !) puis une étude de point fixe avant de finir sur une suite « déduite » de la fonction. 7,5 points pour le tout, il faut les mériter.

La suite est moins aride, mais pas facile pour autant. On continue avec une fonction définie par une intégrale : théorème fondamental de l’analyse et changement de variable au programme pour calculer la limite d’une série.

Ça continue avec un exercice sur les complexes : on étudie une équation du second degré avec coefficients complexes. Cela nous entraine avec les propriétés géométriques des points dont les affixes sont les solutions de l’équation. Je ne vais pas revenir sur ma marotte, mais ça manque vraiment dans le programme chez nous !

L’enchaînement est semblable aux précédentes éditions avec un peu d’algèbre. Exercice un peu basique par rapport à ce qu’on a déjà vu : on étudie de façon guidée les propriétés d’un groupe.

On finit avec de l’arithmétique sous l’ombre de Gauss et Fermat…

Un nouveau très beau sujet au final varié et difficile, pour passer un bon moment pendant l’été !

Le sujet :

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Le corrigé :

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Antoine

Bac 2024 – Asie 1 – corrigé complet

Un article rapide pour ce qui sera certainement ma dernière contribution pré-session 2024, je manque un peu de temps en ce moment malheureusement !

Je vais faire le tour rapidement :

Lecture graphique puis analyse sommaire d’une fonction.

Géométrie dans l’espace : je pense qu’on peut mettre une pièce dessus.

Probabilités avec arbre de décision et loi binomiale : une 2ème pièce ?

Quelques affirmations en VRAI/FAUX pour finir !

À votre tour et bon courage à ceux qui révisent !

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Le corrigé :

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Antoine

Bac 2024 – Amérique du Nord – corrigé

Je ne sais pas s’il faut dire qu’on continue les révisions ou qu’on attaque les sujets de cette année, mais je vous propose le sujet proposé hier en Amérique du Nord. J’ai vu pas mal de commentaires en particulier sur le dernier exercice et j’ai donc voulu rapidement y jeter un œil. Lançons-nous donc sans attendre ! PS de l’intro : merci à l’APMEP d’avoir partagé le sujet aussi rapidement.

On attaque sur des probabilités, du classique avec un arbre de décision et une loi binômiale. Un classique qui sort souvent sous une forme ou une autre !

Un QCM pour continuer, mais au moins les questions sont reliées entre elles. Il y aurait probablement eu moyen d’en faire un exercice un peu plus cohérent, mais bon, c’est déjà ça. Des droites dans l’espace et des représentations paramétriques. Pas si fréquent, donc un bon entraînement.

Exercice 3 sur une étude de fonction logarithmique. Du classique là encore, donc toujours dans les clous pour les métropolitains qui révisent !

Et on arrive donc sur le dernier exercice qui nous fait étudier une suite définie par des intégrales. On pense aux intégrales de Wallis qu’on a déjà croisé ici (2 fois oui, mais là c’est quand même pas exactement pareil). Celui-ci mélange les fonctions trigonométriques avec des exponentielles. On y manipule les propriétés basiques de ces fonctions et des intégrations par parties. Un exercice bien ficelé et intéressant assez différent de ce qu’on a croisé ces dernières années, ça fait plaisir ! À vous de jouer !

Le sujet :

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Le corrigé :

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Antoine

Bac S 2007 Métropole – corrigé complet

Pour ce post, je vous propose le sujet du bac S 2007 proposé en métropole. J’ai vu que The Maths Tailor en parlait sur sa chaîne : https://youtube.com/@TheMathsTailor?si=fFG-5wNQ0Odp3QjJ, encore une chaîne à fortement recommander ! Comme d’habitude, merci à l’APMEP de mettre tous ces sujets à disposition.

Vu les thèmes abordés dans ce sujet, je pense que c’est plus à aborder dans une perspective de prépa que pour le bac en lui-même, mais voyons ce qu’il en est.

Le 1er exercice nous fait étudier 2 plans et une droite. Pas sûr qu’on en croise encore souvent, même si les connaissances requises restent accessibles (la formule de la distance d’un point à un plan est une « extension » de la formule d’un point à une droite dans le plan par exemple). La dernière question est intéressante !

On continue avec une restitution de connaissance puis son application sur l’intégration par parties. À connaître par cœur bien sûr ! On retrouve dans l’application les fonctions exponentielles et trigonométriques si propices à l’intégration par parties, comme on l’a déjà vu ici (n’hésite pas à te pencher sur les intégrales de Wallis pour aller plus loin).

L’exercice 3 (spécialité ou non) nous emmène dans le monde merveilleux des complexes et des transformations du plan associées. Si tu es en maths expert, je te recommande de faire les 2 bien sûr. Celui de spécialité va un peu plus loin et te permet de t’assurer que tu maîtrises bien les concepts introduits avec du calcul évidemment et plusieurs transformations pour manipuler la norme, le conjugué ou la forme exponentielle.

Quelques questions en format QCM sur les probabilités pour l’exercice 4. Pour s’entraîner, le plus important est la justification.

On finit sur une étude fonction à partir de laquelle on va définir une suite récurrente dont on va chercher la limite. On retrouve les éléments classiques de ce genre d’exercices avec un soupçon de logarithme. Dérivation, point fixe, monotonie d’une suite…

Au final, un sujet qui balaye large et constitue une bonne révision pour le bac et la suite !

Le sujet :

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La correction :

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Antoine

Bac C 1981 – Aix Marseille – corrigé complet

Repartons à la rencontre des sujets qui ont fait pleurer les élèves en leur temps avec ce sujet de 81 pour l’académie d’Aix Marseille. J’avais entendu parler de ce sujet il y a quelques temps et il m’est revenu en tête à la publication de la vidéo d’Axel Arno (https://youtu.be/XYKocUhk4Ng?si=cN9XNH4Un6opnOns. Je n’ai pas encore regardé la vidéo au moment où j’écris cet article, mais je ne doute pas qu’elle vaille le coup !). Je n’ai pas été déçu du voyage !

On s’échauffe tranquillement avec un raisonnement par l’absurde sur les nombres premiers. On est dans du classique, mais cet exemple est à maîtriser.

L’exercice 2 est de la géométrie. Sans être forcément difficile, il est assez bourrin avec une composition de 4 transformations. Pas mal de calculs, j’espère ne pas avoir fait d’erreur, j’avoue avoir eu la flemme de relire !

On arrive sur le gros morceau, le problème de Bâle ou le calcul de la somme des inverses des carrés. On va donc manipuler des suites dans un premier temps (ça reste le thème de base) pour s’assurer d’abord de la convergence de la somme. On continue ensuite avec de la trigonométrie, en faisant un détour par les complexes tant qu’à faire. Je pense que cette partie n’est plus vraiment accessible en terminale, les complexes n’étant abordés qu’en maths expertes. On s’étonnera au passage qu’un résultat assez basique (la somme des termes d’une suite géométrique) soit rappelé dans l’énoncé quand on voit les connaissances nécessaires pour traiter le problème.

Avant de conclure, on passe par des études de fonctions et des calculs d’intégrales dont on va chercher les limites… L’arrivée à ce magnifique résultat sera la consécration de tous ces efforts !

En selle, voici le sujet :

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Et la correction :

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Antoine

Bac 2024 – sujet 0 – exos 1 à 3

Dans ce post je propose de se pencher sur le sujet 0 du bac 2024 qui est sorti il y a quelques temps, en commençant par les 3 premiers exercices.

J’avoue que je n’ai pas encore tout parcouru, en particulier parce qu’on passe à des QCM sur les exercices suivants, mais ces premiers exercices sont vraiment intéressants !

On attaque donc sur une résolution d’équation différentielle, dont on va étudier l’ensemble des solutions puis déterminer une solution particulière. Si on reste sur un cas basique, voir ça comme 1er exercice exemple met du baume au cœur !

On enchaîne sur une intégrale à paramètre, qui va nous amener à manipuler des fonctions puissances et exponentielles. On retrouve des intégrations par parties, on passer par du Python et on finit par une étude de limite ! Sympathique.

Le 3ème exercice m’a semblé moins sympathique puisque c’est un passage en revue du programme de probabilités et statistiques ! Je n’ai jamais aimé ces chapitres et cet exercice m’a fait un bon rappel puisqu’on voit à peu près l’ensemble des concepts du programme ! Arbre pondéré, variable aléatoire, loi binomiale, espérance/variance/écart-type et on finit sur l’inégalité de Bienaimé Tchebichev, sur une dernière question pas du tout évidente en point d’orgue de ce long exercice.

Assez discuté, voici le sujet :

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Et la correction de ces premiers exercices :

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Antoine

Bac S 1996 – Asie – corrigé complet

Pour ce dernier post de l’année, je vous propose un dernier sujet de bac que j’ai trouvé plutôt varié et donc intéressant.

On commence avec un exercice de probabilités assez standard. Il reste d’actualité, car on y revoit les formules principales qu’on trouve dans tous les sujets actuels ! (Enfin, c’est l’impression que ça m’a donné ces dernières années). On tire une boule, puis 3 et on passe par les probabilités totales puis conditionnelles.

Comme souvent autour de cette période, l’exercice spécifique à l’enseignement obligatoire s’intéresse aux complexes (ça fait toujours un peu mal de penser que c’est réservé en maths expert maintenant, quand on pense simplement au voyage intellectuel depuis leur « création » jusqu’à leur importance en physique actuellement !). On y étudie une transformation sous un angle analytique puis géométrique. Cela permet de revoir une bonne partie des propriétés du programme, l’utilisation de l’expression conjuguée, les propriétés d’un quotient de 2 complexes…

Pour l’exercice 2 de spécialité, on étudie une fonction paramétrique, là encore en 2 temps : tout d’abord une étude directe puis une étude via une transformation dans le plan complexe. Pour la première partie, je ne sais pas si ça se pratique encore beaucoup aujourd’hui ! En tout cas, je n’en ai pas vu depuis un moment, à part pour des choses très basiques comme des droites ou des plans dans l’espace. Bref, cela oblige à revenir aux bases de certains concepts, comme la dérivée par exemple, on ne peut pas utiliser les formules classiques sous cette forme. La 2ème partie avec la transformation complexe est assez amusante, car finalement on « devine » plus facilement la forme de la courbe ! (Enfin, il faut d’abord connaître le résultat pour pouvoir le proposer cela dit…)

On finit sur un problème d’analyse. On est sur une fonction très standard, qu’on peut trouver encore aujourd’hui d’ailleurs, à base de logarithme. Pas grand chose à ajouter, on va cependant balayer une bonne partie des concepts du secondaire : étude de fonction, intégrales et utilisation de suites pour approcher une valeur particulière.

Au final, un beau sujet pour finir l’année ! J’en profite pour remercier tous ceux qui ont venus sur ce blog pendant l’année, j’espère que ça aura pu vous être utile ou, au moins, que ça aura piqué votre curiosité !

Sujet :

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Corrigé :

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Antoine

Intégrales de Wallis et binôme de Newton

Dans le post du jour, 2 exercices du poly LLG, les 248 et 249 qui s’enchaînent. Toute la beauté étant qu’on ne voit pas forcément immédiatement le lien entre les 2 !

On commence sur les intégrales de Wallis, dont on a déjà vu une déclinaison en début de blog. On enchaine donc sur le 2ème exercice qui étudie le comportement asymptotique d’une forme particulière du binôme de Newton. Pi apparaît… On pourrait pleurer de joie en voyant le résultat !

Rien de plus à dire, encore 2 beaux exos ! À vous de jouer !

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Antoine

Intégrales – 4 exercices

N’ayant pas eu énormément de temps dernièrement, je vous propose de repasser sur quelques exercices du poly LLG. On revient donc sur le chapitre concernant les intégrales avec les exercices 244, 245, 246 et 247. Il en restera 2 que je partagerai prochainement !

On va considérer, dans ces exercices, des suites dans le terme générique est défini par une intégrale. On est sur des exercices assez corsés, avec des réflexions sur des fonctions dont on ne connaît pas l’expression dans les 2 premiers, puis des exercices avec des manipulations avancées pour déterminer des limites ! On a des intégrations par parties, des fonctions classiques, des changements de variables… Tout ce qu’on aime donc !

A vous de jouer !

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Antoine