Arithmétique

Bac SM 2024 – Maroc – corrigé complet

Le petit plaisir de l’année est donc sorti il y a quelques jours ! C’est désormais une forme de tradition, le sujet du bac marocain fait pas mal parler en France. Probablement à raison, mais là n’est pas l’affaire, c’est encore du lourd cette année ! Ne tardons pas plus.

Comme ces dernières années, on attaque avec un gros exercice d’analyse. On étudie une fonction plutôt simple en apparence mais qui nous réserve bien des surprises, et plutôt des mauvaises bien sûr ! Changement de variable pour calculer des limites, limite de taux d’accroissement. On remarquera que même quand l’énoncé donne une indication, son utilisation n’est pas triviale. On passe par du calcul intégral pour étudier le sens de variation (surprenant !) puis une étude de point fixe avant de finir sur une suite « déduite » de la fonction. 7,5 points pour le tout, il faut les mériter.

La suite est moins aride, mais pas facile pour autant. On continue avec une fonction définie par une intégrale : théorème fondamental de l’analyse et changement de variable au programme pour calculer la limite d’une série.

Ça continue avec un exercice sur les complexes : on étudie une équation du second degré avec coefficients complexes. Cela nous entraine avec les propriétés géométriques des points dont les affixes sont les solutions de l’équation. Je ne vais pas revenir sur ma marotte, mais ça manque vraiment dans le programme chez nous !

L’enchaînement est semblable aux précédentes éditions avec un peu d’algèbre. Exercice un peu basique par rapport à ce qu’on a déjà vu : on étudie de façon guidée les propriétés d’un groupe.

On finit avec de l’arithmétique sous l’ombre de Gauss et Fermat…

Un nouveau très beau sujet au final varié et difficile, pour passer un bon moment pendant l’été !

Le sujet :

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Le corrigé :

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Antoine

BAC S 2018 – Métropole – corrigé complet

Les révisions du bac vont bon train, je vous propose donc aujourd’hui d’étudier le sujet de 2018 en métropole (et la Réunion d’ailleurs). Je l’ai fait après être tombé sur un bel article du site Images des Mathématiques (hautement recommendable soit dit en passant) : https://images.math.cnrs.fr/Nombres-puissants-au-bac-S.html. Mauvaise pioche, l’exercice évoqué est le dernier du sujet !

On attaque sur un exercice d’analyse dans lequel on étudie une fonction exponentielle. On va chercher des points possédant une propriété particulière en introduisant une autre fonction qu’on va étudier en détails. On glisse un peu d’algorithmique pour finalement arriver sur un cas pratique.

On enchaîne sur un exercice de probabilités évoquant la diffusion d’une maladie, en fonction de la vaccination ou non des individus. Vu l’année, c’était la grippe évidemment ! Pas grand chose à dire, les questions sont très classiques, à maîtriser bien sûr !

L’exercice 3 propose de la géométrie dans l’espace et des propriétés des tétraèdres. On revoit une bonne partie des notions du programme, c’est intéressant. Toujours dommage qu’on n’en voit pas plus.

On bifurque ensuite pour l’exercice hors spécialité, qui nous propose une suite de nombres complexes dont on va étudier le comportement, puis des propriétés des points du plan dont les affixes sont les éléments de la suite. Evidemment, le public cible est plus restreint aujourd’hui, mais ça reste intéressant pour ceux qui sont en maths experts.

Et on finit donc par l’exercice sur les nombres puissants évoqué en introduction ! Exercice d’arithmétique avec un peu de matrice au milieu. Là encore on est sur le programme math expert mais c’est un exercice bien foutu et un bon enchaînement. Enfin, je ne pourrais pas en dire plus que l’article partagé !

Au final, un sujet très intéressant, même s’il ne s’adresse qu’à une frange réduite des élèves aujourd’hui… Enfin, je recommande tout de même pour ceux qui font maths experts ! Allons-y !

Sujet :

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Corrigé :

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Antoine

CAPES Mathématiques 2024 – Épreuve 1

Je pense que c’est assez connu, le CAPES est le concours de recrutement des enseignants du second degré, collège et lycée. L’écrit de ce concours est composé de 2 épreuves, une constituée de problèmes dans la discipline concernée et une dans laquelle on évalue des réponses potentielles d’élèves, évidemment toujours dans la discipline. Bref ! Aujourd’hui je vous propose de balayer la première épreuve.

J’ai déjà dit que je n’aimais pas les VRAI/FAUX, où on enchaîne les questions sans rapport les unes avec les autres et où (parfois) tout le sel réside dans une formulation subtilement trompeuse… Bon, après il ne faut pas non plus se chercher des excuses, mais ça ne permet pas des problèmes passionnants. Eh bien me voilà servi avec 23 questions et à peu près la moitié du sujet ! On parcourt une large part des thèmes du lycée avec proportionnalité, analyse (surtout sur les intégrales), arithmétique (et un peu de logique), géométrie (dans l’espace), probabilité et algorithmique. Il faut bien connaître le cours (vous me direz que c’est bien le minimum si on veut être professeur !), mais pas grand chose de palpitant. Qui a dit au fond de la salle que je pouvais réviser la loi de Poisson ?? Oui, bon, ça va hein, ça arrive à tout le monde un moment de faiblesse ! D’ailleurs, à choisir la partie probabilité m’a plutôt plu avec des questions un peu différentes des habitudes.

Passons au problème d’analyse qui va nous faire étudier des modèles d’évolution de populations. Étude de fonction, suites, un peu d’équations différentielles et d’algèbre linéaire à la fin. Le principe est plutôt intéressant et on compare le comportement asymptotique de ces différents modèles.

Au final, pas de grosse difficulté dans le sujet mais une bonne occasion de réviser avant le bac ! Ou même en L1, je pense que ça ne fait pas de mal.

Le sujet :

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Le corrigé :

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Antoine

Bac Maroc 2023 – Rattrapage – corrigé complet

Les sujets des épreuves de maths du bac au Maroc sont l’objet de pas mal de discussions tous les ans. Je n’avais pas vu passer jusqu’ici d’épreuve de rattrapage… Je me suis donc penché dessus et le moins qu’on puisse dire est que je n’ai pas été déçu ! Tuons le suspens, je pense qu’il valait mieux réussir la première épreuve, ce rattrapage étant au moins aussi difficile, voir même plus.

Regardons un peu tout ça ! On reste dans l’esprit des sujets que j’ai partagé précédemment et on attaque sur un long exercice d’analyse, découpé en 3 parties : on étudie d’abord les propriétés générales d’une famille de fonctions définies avec un paramètre n. On continue avec une suite définie par une valeur particulière de chaque fonction f_n . Questions classiques de monotonies et limites… On finit par du calcul d’intégrale. Une étude très complète donc et vraiment pas facile !

Les 3 exercices suivants sont plus courts. On enchaîne avec un exercice sur les complexes qu’on introduit via un système de 2 équations à 2 inconnues qui vont être liées aux parties réelles et imaginaires d’un complexe z. La 2ème partie n’est pas liée et propose une approche via les complexes d’un problème de géométrie. Dans cette partie, on peut insister une fois de plus sur la puissance des nombres complexes comme « extension » de la géométrie cartésienne.

La suite est « traditionnellement » sur les structures algébriques, mais cette fois, on ne reste pas sur les habituelles (et encore, seulement en maths expertes chez nous) manipulations de matrices, mais on introduit des structures et des opérations assez inédites. Même si ces dernières restent à base d’arithmétique, leur manipulation demande une bonne maîtrise des concepts sous-jacents car on peut vite se perdre sinon !

Pour les survivants, on finit avec un peu d’arithmétique et de congruence. Là encore un exercice assez court, mais pas facile pour autant. On se rappelle si besoin, que sous leur air gentillet, ces exercices peuvent vite demander de se creuser la tête pour trouver les bonnes idées !

En conclusion, encore un très bon cru venu du Maroc, même si je ne sais pas si beaucoup ont eu l’occasion de se rattraper avec cette épreuve ! J’avais récupéré ce sujet il y a un moment, donc je ne sais plus trop où, mais merci à celle ou celui qui avait partagé ! Allons-y !

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Antoine

Les fondamentaux – développements et factorisations

On continue le livret de fin de seconde et son chapitre sur le calcul algébrique et les exercices 16 à 19.

Je n’insiste pas, il y a 2 exercices sur les développement et 2 sur les factorisations. On retrouve pèle-mêle toutes les techniques de calcul littéral, identités remarquables et manipulation de puissances le tout soupoudré de racines. Je le répète souvent, mais toutes ces opérations nécessitent de bien maîtriser les identités remarquables dans les 2 sens !

N’attendons pas plus, il y a un paquet de calculs qui nous attend !

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Antoine

Les fondamentaux – manipulations racines et puissances

On continue sur notre lancée de consolidation des fondamentaux avec une nouvelle série d’exercices sur les calculs avec racines et les puissances. J’ai changé l’ordre dans le titre, puisqu’il y a cette fois plus de racines que de puissances !

Il y a régulièrement des exercices dont je vante la beauté pour les résultats ou les méthodes utilisées, aujourd’hui on va être beaucoup plus dans le dur…

On attaque donc sur un exercice assez basique dans lequel on doit simplifier des expressions. L’intérêt est de reconnaitre les facteurs composants un nombre pour pouvoir rassembler des racines plus « petites ».

On continue sur des manipulations de fractions desquelles on veut supprimer les les racines au dénominateur. Pas de grosse difficulté si on connait les bonnes recettes !

Dernier exercice, cette fois sur les puissances. On doit ici manipuler des puissances de 4 et 8 pour montrer qu’une expression dépendant d’un entier n est en fait constante.

Comme indiqué au début, on n’est pas ici pour la beauté de l’art, mais pour construire ses réflexes et ses habitudes, qu’on pourra ensuite utiliser dans des exercices plus avancés.

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Antoine

Les fondamentaux – manipulations puissances et racines

Dans ce post, je vous propose de continuer dans le livret fin de 2nde Henri 4, avec la suite de la partie sur le calcul numérique et 3 exercices.

Pour le premier, on nous propose une multiplication qui semble assez imbuvable et qui va donc nous faire réfléchir sur la façon d’appréhender ce genre de question.

On continue avec des manipulations de puissances en simplifiant des expressions bien compliquées par rapport au résultat final qu’on va découvrir. On vérifie les réflexes qu’on a avec les puissances et pas juste les calculs, il faut parfois réécrire certains nombres pour les simplifier/regrouper avec une autre partie de l’expression. Un peu brutal, mais utile !

On finit sur des expressions avec des racines à simplifier ou comparer. Quelques subtilités, mais des questions qu’on retrouve sous divers formes dans de nombreux exercices, même dans les classes supérieures.

Plongeons dans les calculs !

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Antoine

Bac Série C 1978 – Académie de Paris

Suite à la publication du sujet d’Amiens, que j’avais fait en particulier pour la symbolique de la date et du lieu, on m’a indiqué que certains sujets de cette année avait été bien corsés ! Pris d’un enthousiasme assez inexplicable, je me suis lancé dans le sujet de Paris, réputé parmi les pires. Eh bien, je m’en suis mordu les doigts…

On attaque sur de l’arithmétique modulaire. Bon, c’est un sujet que je n’ai pas le souvenir d’avoir étudié dans le secondaire, donc pas évident d’imaginer la réception à l’époque. En tout cas, on note déjà que le choix de travailler dans… Z/91Z peut surprendre ! On va donc résoudre une équation du second degré dans cet anneau. Bon. Si c’est intéressant (et pas si dur une fois qu’on a compris comment ça fonctionnait), il y avait plus simple que 91 pour valider la compréhension du sujet par les élèves.

Sans transition, on enchaîne sur une équation paramétrique de conique. Par défaut, ça n’est pas très compliqué, mais vu l’énoncé, il y a pas mal de cas à étudier et il faut donc faire bien attention à être exhaustif. La 2ème question propose une autre approche de la même équation et cette fois encore, la gestion des différents cas est la principale difficulté. En tout cas, ces 2 questions permettent une bonne revue du sujet.

Après ces 2 exercices loin d’être triviaux, on plonge directement en enfer ! Le problème nous propose l’étude d’une famille de fonction dépendant d’un paramètre. Pour ne pas que ça soit trop simple, on y ajoute une valeur absolue au dénominateur d’une fraction. On comprends vite que le nombre de cas à distinguer va rendre ce problème difficile à apprécier.

Pour autant la première partie donne quelques résultats sympathiques, comme les différentes formes de la courbe selon les valeurs du paramètre ainsi qu’une étude de points fixes ou de transformations affines, là-encore en faisant varier le paramètre. Sympathiques mais quand même âpres… Et encore, je me suis « aidé » de Géogébra, ce qui n’était bien sûr pas possible à l’époque. Vous verrez la longueur de la partie A, heureusement que les résultats sont intéressants.

Mais c’est après qu’on bascule dans l’horreur pour la 2ème partie du problème. Les questions sont compliquées à « comprendre » et encore plus à bien rédiger (vous pourrez noter une petite relâche si vous allez jusqu’au bout). Et si la 1ère partie nous permettait de voir des résultats intéressants, là on s’arrache les cheveux pour arriver sur une limite qui est… une fonction constante ! Je ne vois pas ce qui a motivé l’auteur du sujet à part le sadisme…

Dernière remarque, je n’ai malheureusement jamais des longues plages pour traiter ce genre de sujets, donc c’est dur de se rendre compte du temps que j’y ai passé (en comptant le temps « perdu » pour se remettre dans le sujet et le temps pour taper), mais je ne sais pas ce que j’en aurais fait en 4h !

En conclusion, à part la partie B du problème qui me laisse un goût amer, je pense que c’est un très bon sujet pour terminales (bien motiv, car il y aura des concepts à creuser par eux-mêmes) ou pour les bac +1. J’ai un autre sujet de la même cuvée, mais je vais peut-être laisser décanter un peu. Et un nouveau grand merci à l’APMEP pour les ressources partagées !

Allez, à vous de jouer !

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Antoine

Bac Maroc 2023 – corrigé complet

Après un beau sujet 2022 partagé dans un post précédent, je vous propose le sujet du bac Maroc 2023.

Je ne vais pas faire long, la plupart des remarques du post de 2022 (enfin, le post est plus récent, mais vous avez l’idée !) sont également valables cette année ! Les grands thèmes sont un peu les mêmes, avec un gros exercice d’analyse pour commencer et des structures algébriques avec des matrices pour finir.

Cette année encore, chaque point (voir chaque demi-point car la plupart des questions valent moins d’un point) se mérite ! C’est d’ailleurs amusant, l’énoncé comporte quelques indications qui ne me semblent pas porter sur les points les plus saillants. Une faiblesse de l’auteur du sujet ?

Exercice 1 : analyse, avec étude de fonction avec des logarithmes et exponentielles qui se termine avec une étude de suite.

Exercice 2 : analyse avec fonctions exponentielles et suite

Exercice 3 : nombres complexes et représentation dans le plan. Attention à la dernière question, je vous conseille de rester simple, mais si dans un tel énoncé on a tendance à chercher les méthodes « avancées » en priorité…

Exercice 4 : arithmétique modulaire avec un passage par les complexes ! Très bel exercice je trouve, attention à ne pas se perdre dans certains calculs.

Exercice 5 : structures algébriques basé principalement sur les matrices 2×2. Dans le même esprit que l’an dernier, et donc même remarque : j’aime beaucoup le principe d’introduire ces concepts sur des exemples « simples ».

Allez en piste, bon courage !

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Pour les courageux qui sont arrivés au bout, j’espère que le sujet vous aura plu autant qu’à moi, n’hésitez pas si vous avez des questions et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

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Encore plus cette fois, n’hésitez pas à me contacter pour toute question ! Et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine