Analyse

Dérivation – 3 nouveaux exercices

On continue le poly LLG avec les 3 exercices suivants du chapitre sur la dérivation : 151, 152 et 153.

On commence par la preuve de résultats classiques (et donc à connaître !) sur les fonctions paires, impaires et périodiques. Essayez déjà de deviner les résultats avant de les vérifier !

Petit exercice facile pour continuer, mais à bien maîtriser : décomposition en éléments simples (qu’on a déjà croisée sous une autre forme, avec des entiers), puis réutilisation d’un exercice du post précédent pour trouver la dérivée.

On finit sur un très bel exercice, avec un concept qu’on ne croise pas souvent : la dérivée logarithmique. Je vous laisse découvrir (ou réviser) le concept, en plus on va s’en resservir plus tard dans un autre exercice !

En avant !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Dérivation et récurrence 3 exercices

On continue notre revue de la dérivation avec les 3 exercices suivants dans le poly LLG : 148, 149 et 150.

Sur ces 3 exercices, on va utiliser des raisonnements par récurrence pour arriver à des résultats sur les dérivées successives. Pas de grosse difficulté, il faut juste bien faire attention à la rédaction et aux indices en particulier.

Il n’y a plus qu’à se lancer…

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Antoine

Dérivations – 3 exercices de révision

On remonte un peu dans les chapitres du poly LLG pour attaquer le 6 sur les dérivées. Contrairement aux intégrales qui sont vues en Terminales, la dérivation est un des moments phare de la classe de 1ère. On pourrait passer des pages à raconter l’histoire et l’importance de cet outil, malheureusement je n’ai pas le temps et il y a déjà pas mal de choses de rappelées dans le poly.

On attaque donc sur les 3 premiers exercices, 145, 146 et 147, qui reviennent sur les fondamentaux.

Le premier exercice propose 16 fonctions pour lesquelles il faut donner le domaine de définition et la dérivée. On fait un tour assez exhaustif des fonctions classiques et on révise bien la composition !

On continue avec une dérivée seconde d’une fonction composée et on termine sur une dérivée n-ième.

À vous de vous assurer que vous maîtrisez les bases maintenant !

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Antoine

Intégrales – 4 résultats classiques !

Continuons les exercices du chapitre 8, sur les intégrales, du poly LLG avec 4 magnifiques résultats ! Ce sont les exercices 251, 252, 253 et 254. Comme je l’ai noté dans le pdf (pour ceux qui suivraient), je n’ai pas fait le 250 qui est une adaptation de la démonstration qui le précède dans le pdf. N’hésitez évidemment pas à le faire de votre côté.

Ici, nous attaquons sur une preuve de l’irrationalité de e. J’imagine que cette propriété est connu de tous, mais la preuve est également à avoir déjà vue : on utilise l’approximation de e par la somme des inverses des factoriels et… je vous laisse découvrir la suite !

On continue sur la preuve de la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale. Super classique (oui, bon c’est l’idée du post) et où on admire une fois encore la puissance du raisonnement par récurrence. Je n’en dis pas plus, j’ai déjà ajouté une remarque en fin d’exercice.

Les 2 autres exercices nous proposent de calculer des approximations de ln(2) et Pi. On va y retrouver pas mal de méthodes déjà croisées précédemment et quelques astuces à garder dans la besace. Encore un bon moment de passé !

À vous de plonger dans cet océan de réjouissances !

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Antoine

Intégrales de Wallis et binôme de Newton

Dans le post du jour, 2 exercices du poly LLG, les 248 et 249 qui s’enchaînent. Toute la beauté étant qu’on ne voit pas forcément immédiatement le lien entre les 2 !

On commence sur les intégrales de Wallis, dont on a déjà vu une déclinaison en début de blog. On enchaine donc sur le 2ème exercice qui étudie le comportement asymptotique d’une forme particulière du binôme de Newton. Pi apparaît… On pourrait pleurer de joie en voyant le résultat !

Rien de plus à dire, encore 2 beaux exos ! À vous de jouer !

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Antoine

Intégrales – 4 exercices

N’ayant pas eu énormément de temps dernièrement, je vous propose de repasser sur quelques exercices du poly LLG. On revient donc sur le chapitre concernant les intégrales avec les exercices 244, 245, 246 et 247. Il en restera 2 que je partagerai prochainement !

On va considérer, dans ces exercices, des suites dans le terme générique est défini par une intégrale. On est sur des exercices assez corsés, avec des réflexions sur des fonctions dont on ne connaît pas l’expression dans les 2 premiers, puis des exercices avec des manipulations avancées pour déterminer des limites ! On a des intégrations par parties, des fonctions classiques, des changements de variables… Tout ce qu’on aime donc !

A vous de jouer !

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Antoine

Bac série S 1996 – Métropole groupe II

Nouveau sujet de bac dans ce post, avec le sujet de métropole groupe 2 (je ne sais pas trop où c’est du coup…) en 1996.

On attaque sur un exercice de probabilités avec 2 sacs de 5 boules. On revoit une bonne partie des questions classiques avec le dénombrement de différentes combinaisons, la description d’une loi de probabilité, des probabilités conditionnelles et un loi binômiale pour terminer !

On continue sur l’exercice d’enseignement obligatoire qui porte sur les complexes (dommage de se dire qu’aujourd’hui ce monde merveilleux est réservé à ceux qui prennent maths expertes !). Comme dans d’autres exercices déjà croisés, on est surtout sur l’interprétation géométrique des affixes et transformations du plan : on mélange donc des calculs et l’interprétation du résultat, c’est toujours intéressant !

L’exercice de spécialité est pour sa part un exercice de géométrie. Et… bah franchement, pas grand-chose à voir ! Rien de bien intéressant, la question 2.b à la limite. Quel dommage et surprise par rapport à l’exercice précédent.

On finit sur du classique, un problème d’analyse avec des exponentiels, des études de fonctions et un peu d’intégrales pour finir. Un peu d’originalité avec le f+f^2, sympa !

Encore un bon sujet, qui doit être accessible pour les terminales actuelles et plus intéressant que les annales des dernières années !

À vous de jouer…

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Antoine

Bac 1978 série C – Liban

Retour en 1978 pour ce post avec un nouveau sujet de cette session. Un sujet qui est entouré d’une aura assez légendaire en particulier pour son problème, comme on va le voir tout à l’heure…

On commence par un peu d’arithmétique avec des multiples de 4 de la forme 37p+1. Un peu de calcul donc.

On enchaîne sur une fonction paramétrique de vecteurs. L’exercice n’est pas très difficile, mais je pense que ça n’est plus du tout au programme.

Et on arrive sur le gros morceau, le calcul de l’intégrale de Gauss ! Une méthode « classique » pour ce calcul est un changement de variable pour passer du mode coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, ce qui n’est déjà pas trivial. Mais là on passe par l’étude d’une fonction définie par une intégrale à paramètre. Cette fois, on est à la fois hors programme et sur un exercice difficile ! Les objets à manipuler ne sont franchement pas marrants… Je pense qu’il serait même intéressant de le faire faire en sup pour voir le résultat.

Je n’en dis pas plus, l’énoncé étant finalement assez court, mais vous avez de quoi passer un bon week-end !

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Antoine

Bac série S 1995 – Pondichéry

On continue aujourd’hui notre exploration des sujets de bac en voyageant cette fois dans l’espace en plus du temps pour nous en 1995, époque qu’on connait déjà bien et en Inde à Pondichéry. Nous voilà donc au bord de l’océan indien pour les prochaines heures. Vous noterez que je n’ai traité que les exercices de spécialité, sans aucune raison à part une forme de flemme. J’avoue…

On attaque donc sur un exercice de complexes et leur représentation géométrique. Comme d’hab, on n’insiste jamais trop sur l’importance des complexes pour les études scientifiques dans le supérieur. Rien de particulier, à part une question où je suis parti sur une méthode calculatoire proche de l’enfer. Il est peut-être possible de faire autrement, n’hésitez pas à me dire si vous avez d’autres idées !

J’ai donc zappé l’exercice de probabilités. Mais j’encourage tout de même à le faire.

On continue donc sur l’exercice de géométrie avec des triangles et des transformations. Les concepts revus ici sont donc plutôt simples, mais ils sont à bien maîtriser, c’est là où l’exercice est intéressant.

On finit sur un problème d’analyse. Si vous avez déjà suivi les sujets précédents, on retrouve un peu toujours les même sujets, de l’exponentiel, de la dérivation, de l’intégration, des valeurs approchées de racines. Bref, à force tout le monde doit être très à l’aise !

Lançons-nous !

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Antoine

Fonctions puissances 4 exercices

On revient pour ce post sur le poly LLG pour continuer le chapitre sur les fonctions puissances débuté il y a quelques temps. Est-ce que c’est parce que je n’ai rien d’autre sous la main ? Pas tout à fait… Mais pas loin non plus. Bref ! On embarque pour les exercices 214, 215, 216 et 217.

4 exercices dans lesquels on s’éloigne un peu du sujet de base finalement.

On va donc y croiser des comparaisons de moyenne arithmétique, harmonique ou géométrique. L’exercice 215 nous fait voyager dans l’histoire pour rencontrer les pensées de Cauchy (en faisant au passage appel à un exercice déjà vu sur ce blog)

On enchaîne avec de la géométrie pour maximiser des aires ou des volumes !

Pas vraiment des fonctions puissances, mais quand même un bon moment ! C’est parti.

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Antoine