soutien scolaire

Calcul intégral et primitives – 5 exercices

Suite à la mise en bouche du précédent post, je vous propose aujourd’hui un petit retour en arrière avec des exercices pour reprendre les bases du calcul intégral avec les 5 premiers exercices du chapitre correspondant dans le poly Louis-le-Grand.

On commence par une série de calcul de primitives, avec un certain nombre de formes qu’on va retrouver régulièrement, donc à savoir trouver et surtout reconnaître « automatiquement » au fur et à mesure de votre avancée dans ce sujet.

On continue avec quelques exercices d’application où on retrouve principalement des logarithmes et des fonctions trigonométriques, compagnons habituels de ce genre d’exercices.

N’hésitez pas à prendre un peu de temps si besoin, c’est indispensable de bien maîtriser ces bases !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

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Antoine

7 exercices sur les calculs de limites

Pour finir le week-end, je vous propose les 1ers exercices de calculs de limites tirés toujours du poly du lycée aux CPGE ! Les numéros 122 à 128.

Comme toujours dans ce poly, on révise les « bases » avec des questions de difficultés progressive et on retrouve déjà une bonne partie des techniques à maîtriser : croissances comparées, mise en facteur de la puissance dominante, formule de la fonction dérivée.

On termine sur un très exercice pour trouver une expression de Pi trouvée par Viète.

Passons tout de suite à la limite ! Aïe, j’y suis passé trop vite : une faute de frappe s’est glissée sur la première fonction de l’exercice 127 : la dérivée de cosinus et -sinus (il manque le « – »). En 0, ça ne change finalement pas le résultat.

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Antoine

Quelques exercices pour manipuler des sommes

Continuons notre exploration du poly du Lycée au CPGE avec quelques exercices pour manipuler des sommes.

Pas grand chose de particulier à commenter, on retrouve des résultats classiques avec plus ou moins de calculs… En tout cas, ce sont des manipulations à maîtriser parfaitement dans le supérieur : l’utilisation du sigma est évidemment incontournable et on ne pourrait pas s’en sortir sans dans bien des situations, mais ça reste un outil qui peut rebuter au premier abord !

Je vous laisse vous lancer !

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Antoine

CAPES Externe 2015 math épreuve 1 – corrigé complet

Je vous propose aujourd’hui l’épreuve 1 du CAPES externe de math 2015.

Le sujet est composé de 2 problèmes indépendants.

Problème 1 : ce problème traite de propriétés des normes des complexes et de leur interprétation géométrique. Il faut manipuler soigneusement les nombres complexes, leurs normes et les conjugués. Vous verrez qu’il y a une question qui reste à creuser, je ne suis pas à 100% convaincu par ce que j’ai écrit ! La dernière partie propose des interprétations géométriques qu’on ne croise plus beaucoup me semble-t-il, du moins que je n’ai pas beaucoup croisées pour ma part. Je trouve personnellement cette vision très intéressante.

Problème 2 : sans rapport, on bascule sur des propriétés de la moyenne de Cesaro, leurs réciproques éventuelles et des contre-exemples. Un peu de calculs et beaucoup de limites ! Attention à ce pas se mélanger les crayons dans les hypothèses (spoiler alert : ça m’est arrivé).

C’est parti pour ce nouveau sujet !

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Antoine

Sommes téléscopiques – 2 exercices

Dans ce post on repart dans le livret Louis-le-Grand avec les exercices 45 et 46.

Ils traitent de sommes téléscopiques, outil indispensable de la boîte à outils du mathématicien en herbe. Le principe est simple : on somme des termes qui s’annulent de proche en proche pour qu’il ne reste à la fin que le premier et de dernier.

On va retrouver 2 cas classiques d’utilisation : les logarithmes et les fractions.

La première question est hyper classique, à reconnaître immédiatement. La 2ème question de l’exercice 45 et le 46 sont un peu plus subtils mais sont également à savoir identifier.

En piste !

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Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

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Antoine

Analyse – Bac Tunisie 2020 Ex. 4

Pour ce post, je vous partage l’exercice 4 du Bac Tunisie 2020.

C’est un exercice d’analyse que je sépare du reste car il est déjà assez long en lui-même.

Il est très intéressant car il couvre une grande partie du programme : dérivation, intégration, limites, limite monotone, les gendarmes ! Et ce que j’apprécie particulièrement, c’est qu’on reste sur des concepts assez simples (la fonction étudiées est une composée de racine et exponentielle), mais que pour autant l’exercice n’est pas du tout trivial.

Le début de la question 3 est un peu plus ardu avec une intégration par parties qui comprend un calcul un peu lourd. Ça me semble (malheureusement) bien loin de ce qu’on demande au bac, en France, actuellement, mais c’est indispensable à maîtriser pour le supérieur.

Je vous laisse avec l’exercice !

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Antoine

2 exercices sur les équations fonctionnelles

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices toujours extraits du livret « du lycée au CPGE ».

Je limite le nombre d’exercices, car je me rends compte qu’avec pas mal d’exercices par document il traine quelques coquilles et que c’est un peu lourd à reprendre ! Cela permettra aussi de donner quelques précisions sur les exercices quand cela est pertinent

On s’attaque donc cette fois à 2 exercices qui présentent des équations fonctionnelles. C’est un sujet qu’on ne croise pas tellement au lycée, mais qui reste tout à fait accessible et permet d’appliquer ses connaissances de façon plus abstraite, sans connaitre en détails la fonction.

C’est en tout cas à bien maîtriser en Bac +1.

L’exercice 24 est hyper classique, il y a déjà au moins 1 sujet dans lequel il est traité sur ce blog. Pas de grosse difficulté (à part comme indiqué ci-dessus, la capacité de se « représenter » les situations) et on retrouve des raisonnements usuels à maîtriser : récurrence, utilisation des ensemble de nombres, conditions de passage à la limite.

L’exercice 23 me semble un peu plus compliqué (personnellement j’aurais inversé l’ordre !) car la relation étudiée est un peu moins directe et qu’on étudie une dérivée seconde sans connaitre la fonction, ce qui n’est pas du tout courant dans le secondaire. Cependant, là encore, c’est accessible avec les notions de Terminale (peut-être même Première en fait, on utilise des notions assez simples), c’est surtout l’abstraction demandée qui est la difficulté.

Je vous laisse avec les exercices !

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Antoine

Continuons l’exploration des complexes !

Je vous propose aujourd’hui 10 nouveaux exercices sur les complexes, toujours du poly de Louis-le-Grand !

On continue donc à réviser les propriétés de ces nombres, avec le module, la représentation géométrique ou encore l’argument.

Comme vous le verrez, il y a un exercice particulièrement difficile, pour lequel je propose un énoncé alternatif qui oriente la réflexion : les manipulations sur les nombres restent les mêmes, mais cela permet aux élèves qui n’auraient pas eu l’intuition de s’exercer tout de même sur les calculs, qui ne sont déjà pas triviaux.

Pour 2 autres exercices, j’ai un peu erré sur le chemin de la résolution. J’ai laissé en l’état plutôt que de faire le ménage après coup, je pense que c’est intéressant de voir des pistes alternatives plus ou moins fructueuses et surtout que même avec quelques années de recul, on peut parfois ne pas aller directement droit au but ! L’erreur ou le mauvais chemin font partie de l’apprentissage.

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Antoine