soutien scolaire

Les fondamentaux – calcul algébrique

On continue à parcourir le poly Henri 4 avec le chapitre sur le calcul algébrique.

Comme son nom l’indique assez clairement, après les expressions numériques des exercices précédents on manipule maintenant des expressions algébriques (des « x » en gros !).

2 exercices assez « basiques » pour assurer les bases : on développe, on factorise, on utilise des identités remarquables…

On finit sur une mise en application dans laquelle on utilise les outils (enfin un des outils) pour trouver une valeur numérique.

En avant pour ce nouveau chapitre !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Les fondamentaux – calcul numérique – applications

On finit le chapitre sur le calcul numérique avec 3 exercices d’applications des révisions des posts précédents.

On commence par calculer des aires quand on « démultiplie » une figure dans un cadre fixé. Pas très compliqué mais il faut faire attention à la mise en équation.

Résolution d’équations sur les puissances ensuite. Du calcul, pour changer !

Le dernier est la démonstration d’une égalité. J’aime beaucoup cet exercice, car il est impossible si on le prend dans le mauvais, mais assez facile si on regarde dans la bonne direction. C’est tout ce qu’on demande pour terminer cette partie !

Je vous laisse plonger dans ces exercices.

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Antoine

Les fondamentaux – manipulations racines et puissances

On continue sur notre lancée de consolidation des fondamentaux avec une nouvelle série d’exercices sur les calculs avec racines et les puissances. J’ai changé l’ordre dans le titre, puisqu’il y a cette fois plus de racines que de puissances !

Il y a régulièrement des exercices dont je vante la beauté pour les résultats ou les méthodes utilisées, aujourd’hui on va être beaucoup plus dans le dur…

On attaque donc sur un exercice assez basique dans lequel on doit simplifier des expressions. L’intérêt est de reconnaitre les facteurs composants un nombre pour pouvoir rassembler des racines plus « petites ».

On continue sur des manipulations de fractions desquelles on veut supprimer les les racines au dénominateur. Pas de grosse difficulté si on connait les bonnes recettes !

Dernier exercice, cette fois sur les puissances. On doit ici manipuler des puissances de 4 et 8 pour montrer qu’une expression dépendant d’un entier n est en fait constante.

Comme indiqué au début, on n’est pas ici pour la beauté de l’art, mais pour construire ses réflexes et ses habitudes, qu’on pourra ensuite utiliser dans des exercices plus avancés.

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Antoine

Les fondamentaux – manipulations puissances et racines

Dans ce post, je vous propose de continuer dans le livret fin de 2nde Henri 4, avec la suite de la partie sur le calcul numérique et 3 exercices.

Pour le premier, on nous propose une multiplication qui semble assez imbuvable et qui va donc nous faire réfléchir sur la façon d’appréhender ce genre de question.

On continue avec des manipulations de puissances en simplifiant des expressions bien compliquées par rapport au résultat final qu’on va découvrir. On vérifie les réflexes qu’on a avec les puissances et pas juste les calculs, il faut parfois réécrire certains nombres pour les simplifier/regrouper avec une autre partie de l’expression. Un peu brutal, mais utile !

On finit sur des expressions avec des racines à simplifier ou comparer. Quelques subtilités, mais des questions qu’on retrouve sous divers formes dans de nombreux exercices, même dans les classes supérieures.

Plongeons dans les calculs !

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Antoine

Livret 2nde H4 – on reprend les fondamentaux

Pour le début de cette année, je vous propose de parcourir le livret de fin de 2nde du Lycée Henri 4. On va pouvoir y travailler les fondamentaux qui vont nous accompagner dans les classes supérieures. Ça provient de H4, donc les exercices ne sont pas forcément triviaux pour autant !

J’ai croisé ce pdf en partage sur plusieurs serveurs Discord, je me permets donc également de l’utiliser, sans oublier de remercier plus que vivement les professeurs qui ont participer à son écriture. Je le partage à mon tour :https://drive.google.com/file/d/1Iwpz7dQyQMKOshJF6pO7TINdIObjPdYw/view?usp=drivesdk

On attaque donc avec les 3 premiers exercices du paragraphe « calcul numérique », dont la finalité est… de manipuler des expressions numériques.

Le premier peut paraître très simple, mais justement son intérêt est de rappeler qu’il ne fait jamais se précipiter quand on « traduit » un énoncé en français en langage mathématique. On continue avec 2 exercices de calculs sur des écritures fractionnaires qu’il faudra manipuler avec précaution pour ne pas se tromper.

À maîtriser parfaitement ! Je sais que je le dis souvent, mais je pense qu’on ne peut pas trop insister sur ces fondamentaux qui posent trop souvent problème aux élèves. L’entraînement reste la clé…

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Antoine

Bac S 1996 – Asie – corrigé complet

Pour ce dernier post de l’année, je vous propose un dernier sujet de bac que j’ai trouvé plutôt varié et donc intéressant.

On commence avec un exercice de probabilités assez standard. Il reste d’actualité, car on y revoit les formules principales qu’on trouve dans tous les sujets actuels ! (Enfin, c’est l’impression que ça m’a donné ces dernières années). On tire une boule, puis 3 et on passe par les probabilités totales puis conditionnelles.

Comme souvent autour de cette période, l’exercice spécifique à l’enseignement obligatoire s’intéresse aux complexes (ça fait toujours un peu mal de penser que c’est réservé en maths expert maintenant, quand on pense simplement au voyage intellectuel depuis leur « création » jusqu’à leur importance en physique actuellement !). On y étudie une transformation sous un angle analytique puis géométrique. Cela permet de revoir une bonne partie des propriétés du programme, l’utilisation de l’expression conjuguée, les propriétés d’un quotient de 2 complexes…

Pour l’exercice 2 de spécialité, on étudie une fonction paramétrique, là encore en 2 temps : tout d’abord une étude directe puis une étude via une transformation dans le plan complexe. Pour la première partie, je ne sais pas si ça se pratique encore beaucoup aujourd’hui ! En tout cas, je n’en ai pas vu depuis un moment, à part pour des choses très basiques comme des droites ou des plans dans l’espace. Bref, cela oblige à revenir aux bases de certains concepts, comme la dérivée par exemple, on ne peut pas utiliser les formules classiques sous cette forme. La 2ème partie avec la transformation complexe est assez amusante, car finalement on « devine » plus facilement la forme de la courbe ! (Enfin, il faut d’abord connaître le résultat pour pouvoir le proposer cela dit…)

On finit sur un problème d’analyse. On est sur une fonction très standard, qu’on peut trouver encore aujourd’hui d’ailleurs, à base de logarithme. Pas grand chose à ajouter, on va cependant balayer une bonne partie des concepts du secondaire : étude de fonction, intégrales et utilisation de suites pour approcher une valeur particulière.

Au final, un beau sujet pour finir l’année ! J’en profite pour remercier tous ceux qui ont venus sur ce blog pendant l’année, j’espère que ça aura pu vous être utile ou, au moins, que ça aura piqué votre curiosité !

Sujet :

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Corrigé :

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Antoine

Brevet 1978 – académie de Paris – corrigé complet

Pour péparer Noël, je vous propose un nouveau sujet sorti du passé : l’épreuve du brevet de l’académie de Paris en 1978. L’épreuve est séparée en 2 parties, algèbre et géométrie.

La partie algèbre propose d’étudier quelques propriétés de polynômes du second degré uniquement avec des outils simples, ainsi qu’une fraction rationnelle composée de ces polynômes. Je trouve que cet exercice est intéressant car si je pense que ça serait une boucherie en épreuve de brevet de nos jours, les outils à utiliser sont à disposition dans le programme de 3ème.

L’exercice de géométrie utilisent pas mal de propriétés des vecteurs, qui sont introduits en 2nde, donc plus du tout accessible en 3ème. Cependant, on pourrait imaginer le reformuler en restant proche mais uniquement avec la géométrie du collège.

À noter, et j’espère que ça n’était pas le cas pour les candidats de l’époque, il y a 2 fautes de frappe dans le 2ème exercice : un point M fantôme est introduit à la question 2 et à la question 4, il faut prendre DE = 4i-4j et pas 4i-j.

En conclusion, même si on pourrait transformer ce sujet en défi pour des élèves de fin de 3ème, les programmes actuels en font plutôt un bon sujet sérieux de 2nde où tous les points sont dans le programme.

À l’attaque !

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Antoine

Seconde – les vecteurs – 1ère partie

Dans ce post, nous allons introduire la notion de vecteur telle qu’elle est vue en seconde. On est dans cette classe à la croisée entre la géométrie et l’algèbre et on peut par ce biais se représenter visuellement les résultats qu’on obtient pas le calcul.

C’est une notion indispensable car elle évolue plus tard dans la notion d’algèbre linéaire et pour citer Wikipédia : « Rigoureusement axiomatisée, la notion de vecteur est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire. En ce sens, un vecteur est un élément d’un espace vectoriel, c’est-à-dire qu’il est possible d’effectuer les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire (par un nombre), et que ces opérations ont de bonnes propriétés. » Tout un programme !

Ça doit évidemment être répété au fur et à mesure qu’on avance sur le merveilleux chemin de l’algèbre linéaire, mais on ne peut pas trop insister sur l’importance de cette notion et sur le fait, justement, qu’on peut souvent la rapprocher d’une représentation assez simple dans le plan ou dans l’espace.

Dans cette première partie on revoit les définitions et propriétés de base. On se rend compte qu’il y a tout de même un nombre assez important de nouveautés avec lesquelles il faut se familiariser. Ne pas hésiter à multiplier les exercices pour s’assurer de la bonne maitrise.

Les exercices justement, j’en ai mis 4 ici. 2 en particulier permettent de bien faire le lien entre la vision géométrique (le « dessin ») et la vision algébrique (le calcul) de la même question. Si j’ai trouvé que ça faisait une bonne revue des notions évoquées, je ne prétends pas du tout qu’ils sont exhaustifs et comme je le disais dans la paragraphe précédent, il faut en faire le plus possible. On en trouve facilement sur internet !

Pour les vecteurs, suivez la flèche !

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Antoine

Dérivation – exercices 162 à 164

On continue le chapitre sur la dérivation dans le poly LLG avec 3 exercices sur des études de fonctions, les 162, 163 et 164.

On revoit des formules, une asymptote et l’utilisation d’une fonction pour résoudre une question d’arithmétique ! Joli programme !

162 : on attaque sur un quotient et une fonction composée au dénominateur. L’énoncé limite l’étude sur une partie du domaine de définition qui évite de se poser la question. Presque dommage, c’est important de bien penser à vérifier le domaine de définition d’une fonction avec un quotient. Pas de difficulté particulière.

163 : On étudie une fonction composée, là encore avec des fonctions « élémentaires » très classiques. Surprise dans l’énoncé (faute de frappe ?) avec un intervalle ouvert alors que la fonction ne pose pas de problème de définition. La 2ème question demande d’étudier une asymptote oblique, un peu la plus simple et vu la définition de la fonction, on imagine que c’est l’intérêt principal de l’exercice. En tout cas, c’est la savoir montrer (la différence entre la fonction et la droite tend vers 0) et reconnaître immédiatement l’interprétation géométrique.

164 : nouvelle étude d’une fonction constituée d’un quotient de 2 fonctions classique. Dérivée, limites, la routine maintenant ! Et on va cette fois utiliser cette fonction pour résoudre une équation sur des entiers. Comme souvent, on trouve des questions intéressantes en faisant le lien entre plusieurs parties du programme.

A vous de jouer !

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Antoine

Seconde – calculs avec des racines carrées

On continue a revoir les bases du programme de Seconde avec des calculs à base de racines carrées. C’est dans la continuité des exercices sur le calcul littéral, voir d’ailleurs un peu en amont.

Dans cette, assez longue, série de calculs, on revoit une grande partie des techniques à maîtriser. J’en profite pour rappeler les grands principes dans les corrections.

C’est du calcul, donc je n’ai rien à ajouter, il faut s’entraîner jusqu’à ce que les opérations soient naturelles. À vous de jouer !

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Antoine