Poly Tosel

Calcul intégral et primitives – 5 exercices

Suite à la mise en bouche du précédent post, je vous propose aujourd’hui un petit retour en arrière avec des exercices pour reprendre les bases du calcul intégral avec les 5 premiers exercices du chapitre correspondant dans le poly Louis-le-Grand.

On commence par une série de calcul de primitives, avec un certain nombre de formes qu’on va retrouver régulièrement, donc à savoir trouver et surtout reconnaître « automatiquement » au fur et à mesure de votre avancée dans ce sujet.

On continue avec quelques exercices d’application où on retrouve principalement des logarithmes et des fonctions trigonométriques, compagnons habituels de ce genre d’exercices.

N’hésitez pas à prendre un peu de temps si besoin, c’est indispensable de bien maîtriser ces bases !

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Antoine

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

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Antoine

7 exercices sur les calculs de limites

Pour finir le week-end, je vous propose les 1ers exercices de calculs de limites tirés toujours du poly du lycée aux CPGE ! Les numéros 122 à 128.

Comme toujours dans ce poly, on révise les « bases » avec des questions de difficultés progressive et on retrouve déjà une bonne partie des techniques à maîtriser : croissances comparées, mise en facteur de la puissance dominante, formule de la fonction dérivée.

On termine sur un très exercice pour trouver une expression de Pi trouvée par Viète.

Passons tout de suite à la limite ! Aïe, j’y suis passé trop vite : une faute de frappe s’est glissée sur la première fonction de l’exercice 127 : la dérivée de cosinus et -sinus (il manque le « – »). En 0, ça ne change finalement pas le résultat.

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Antoine

Quelques exercices pour manipuler des sommes

Continuons notre exploration du poly du Lycée au CPGE avec quelques exercices pour manipuler des sommes.

Pas grand chose de particulier à commenter, on retrouve des résultats classiques avec plus ou moins de calculs… En tout cas, ce sont des manipulations à maîtriser parfaitement dans le supérieur : l’utilisation du sigma est évidemment incontournable et on ne pourrait pas s’en sortir sans dans bien des situations, mais ça reste un outil qui peut rebuter au premier abord !

Je vous laisse vous lancer !

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Antoine

Sommes téléscopiques – 2 exercices

Dans ce post on repart dans le livret Louis-le-Grand avec les exercices 45 et 46.

Ils traitent de sommes téléscopiques, outil indispensable de la boîte à outils du mathématicien en herbe. Le principe est simple : on somme des termes qui s’annulent de proche en proche pour qu’il ne reste à la fin que le premier et de dernier.

On va retrouver 2 cas classiques d’utilisation : les logarithmes et les fractions.

La première question est hyper classique, à reconnaître immédiatement. La 2ème question de l’exercice 45 et le 46 sont un peu plus subtils mais sont également à savoir identifier.

En piste !

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Antoine

2 exercices sur les équations fonctionnelles

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices toujours extraits du livret « du lycée au CPGE ».

Je limite le nombre d’exercices, car je me rends compte qu’avec pas mal d’exercices par document il traine quelques coquilles et que c’est un peu lourd à reprendre ! Cela permettra aussi de donner quelques précisions sur les exercices quand cela est pertinent

On s’attaque donc cette fois à 2 exercices qui présentent des équations fonctionnelles. C’est un sujet qu’on ne croise pas tellement au lycée, mais qui reste tout à fait accessible et permet d’appliquer ses connaissances de façon plus abstraite, sans connaitre en détails la fonction.

C’est en tout cas à bien maîtriser en Bac +1.

L’exercice 24 est hyper classique, il y a déjà au moins 1 sujet dans lequel il est traité sur ce blog. Pas de grosse difficulté (à part comme indiqué ci-dessus, la capacité de se « représenter » les situations) et on retrouve des raisonnements usuels à maîtriser : récurrence, utilisation des ensemble de nombres, conditions de passage à la limite.

L’exercice 23 me semble un peu plus compliqué (personnellement j’aurais inversé l’ordre !) car la relation étudiée est un peu moins directe et qu’on étudie une dérivée seconde sans connaitre la fonction, ce qui n’est pas du tout courant dans le secondaire. Cependant, là encore, c’est accessible avec les notions de Terminale (peut-être même Première en fait, on utilise des notions assez simples), c’est surtout l’abstraction demandée qui est la difficulté.

Je vous laisse avec les exercices !

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Antoine

Continuons l’exploration des complexes !

Je vous propose aujourd’hui 10 nouveaux exercices sur les complexes, toujours du poly de Louis-le-Grand !

On continue donc à réviser les propriétés de ces nombres, avec le module, la représentation géométrique ou encore l’argument.

Comme vous le verrez, il y a un exercice particulièrement difficile, pour lequel je propose un énoncé alternatif qui oriente la réflexion : les manipulations sur les nombres restent les mêmes, mais cela permet aux élèves qui n’auraient pas eu l’intuition de s’exercer tout de même sur les calculs, qui ne sont déjà pas triviaux.

Pour 2 autres exercices, j’ai un peu erré sur le chemin de la résolution. J’ai laissé en l’état plutôt que de faire le ménage après coup, je pense que c’est intéressant de voir des pistes alternatives plus ou moins fructueuses et surtout que même avec quelques années de recul, on peut parfois ne pas aller directement droit au but ! L’erreur ou le mauvais chemin font partie de l’apprentissage.

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Antoine

Nouvelle salve d’exercices sur les complexes !

Dans ce post, je vous propose de continuer notre exploration du monde merveilleux des nombres complexes et du poly « du lycée aux CPGE » que je ne présente plus.

10 nouveaux exercices concernant le module et la représentation géométrique. Pour cette dernière, j’ai tâché d’expliquer le plus clairement possible, mais je n’ai pas inséré de représentations graphiques dans le pdf, car ça n’est pas toujours hyper simple avec Géogébra, surtout sur tablette qui est l’outil que j’utilise principalement pour rédiger les documents (je fais souvent ça le soir, mais je ne vais pas raconter ma vie !). J’encourage cependant le plus vivement possible tous les élèves qui veulent se mettre les idées au clair, et encore plus ceux qui ont découverts le concept cette année, de faire les dessins. Se faire des images des concepts me semble (enfin, pas que moi sinon ça n’aurait pas de valeur) le meilleur moyen de bien les comprendre.

Quelques calculs dans cette série, corrigez-moi bien sûr si j’ai fait des erreurs !

Edit 23/05 : Un oubli s’était glissé dans l’exercice 342 !

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Antoine

10 exercices sur les complexes – introduction aux complexes

Pour ce post, je vous propose les 10 premiers exercices du chapitre sur les nombres complexes du poly « du lycée au CPGE » que j’ai déjà présenté dans des posts précédents. Les numéros des exercices correspondent à ceux du poly.

Ces premiers exercices sont donc introductifs à la manipulation des complexes, principalement sous leur forme algébrique qui est celle qu’on utilise pour définir cet ensemble. Pas grand-chose à ajouter, à part qu’il faut évidemment parfaitement maîtriser ces opérations de base.

Je profite de ce post pour donner quelques éléments historique sur l’introduction de ces nombres. N’hésitez pas à creuser, les nombres complexes sont à la base de la théorie de la mécanique quantique et pilotent donc toute notre vie !

Histoire des nombres complexes (introduction)Télécharger

Je vous laisse avec les exercices !

Du Lycée aux CPGE 10 exercices sur les complexesTélécharger

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Antoine

Du Lycée aux CPGE : les 10 premiers exercices

J’ai déjà introduit dans un post précédent ce magnifique document mis à disposition par Louis-le-Grand et Henri IV, dont je rappelle le lien : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf.

Même si je propose des corrigés de certains exercices, je ne peux que vous encourager à récupérer le pdf et de profiter de l’ensemble des rappels et conseils.

Ces 10 premiers exercices sont très axés sur la récurrence et donc beaucoup sur les suites. Ils sont de difficulté modérée pour une entrée en matière en douceur…

L’ensemble est évidemment très intéressant, avec des exercices variés, des résultats classiques et un mode de raisonnement à maîtriser parfaitement à la fin de la terminale !

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Antoine