Terminale

10 exercices sur les complexes – introduction aux complexes

Pour ce post, je vous propose les 10 premiers exercices du chapitre sur les nombres complexes du poly « du lycée au CPGE » que j’ai déjà présenté dans des posts précédents. Les numéros des exercices correspondent à ceux du poly.

Ces premiers exercices sont donc introductifs à la manipulation des complexes, principalement sous leur forme algébrique qui est celle qu’on utilise pour définir cet ensemble. Pas grand-chose à ajouter, à part qu’il faut évidemment parfaitement maîtriser ces opérations de base.

Je profite de ce post pour donner quelques éléments historique sur l’introduction de ces nombres. N’hésitez pas à creuser, les nombres complexes sont à la base de la théorie de la mécanique quantique et pilotent donc toute notre vie !

Histoire des nombres complexes (introduction)Télécharger

Je vous laisse avec les exercices !

Du Lycée aux CPGE 10 exercices sur les complexesTélécharger

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Antoine

Du Lycée aux CPGE : les 10 premiers exercices

J’ai déjà introduit dans un post précédent ce magnifique document mis à disposition par Louis-le-Grand et Henri IV, dont je rappelle le lien : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf.

Même si je propose des corrigés de certains exercices, je ne peux que vous encourager à récupérer le pdf et de profiter de l’ensemble des rappels et conseils.

Ces 10 premiers exercices sont très axés sur la récurrence et donc beaucoup sur les suites. Ils sont de difficulté modérée pour une entrée en matière en douceur…

L’ensemble est évidemment très intéressant, avec des exercices variés, des résultats classiques et un mode de raisonnement à maîtriser parfaitement à la fin de la terminale !

du-lycee-aux-cpge-10-exercices-2Télécharger

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Antoine

Un peu de calcul

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices tirés du document « du Lycée aux CPGE » proposé par des professeurs de Louis-le-Grand et Henry IV.

Ce document, accessible sur le site de Louis-le-Grand en particulier : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf, est une excellente transition entre la terminale et la prépa : il contient des rappels de cours, des méthodes à maîtriser et, évidemment, de nombreux exercices ! Plus de 500 au total, un joli programme pour les vacances post-bac.

Les 2 exercices ci-dessous, sont des exercices de calcul, pas grand-chose de particulier à en dire, à part qu’il ne faut pas se laisser impressionner par les énoncés et toujours prendre un temps de réflexion entre les étapes pour essayer de se simplifier la vie dans la mesure du possible (du moins ne pas se la compliquer).

Les numéros des exercices correspondent à ceux du pdf, ça n’est pas une lubie de ma part, si vous aviez un doute.

2-exercices-calculTélécharger

A vos calculs !

Antoine

2 études de suites définies par des intégrales

Je vous propose 2 petites études de suites dont le terme général est défini par une intégrale.

C’est toujours intéressant en maths de croiser plusieurs sujets, cela permet de mieux appréhender son niveau de maîtrise de chacun de ces chapitres.

Pour ces 2 exercices, on retrouve les questions classiques sur les suites, monotonie et limite.

Évidemment, la difficulté de ces exercices vient de la définition même de ces séries avec des intégrales. Heureusement on est sur des fonctions standards et plutôt simples à intégrer, du moins dont le comportement à l’infini est connu. Il faut passer outre le côté impressionnant de cette définition et se concentrer sur les raisonnements utilisés habituellement pour les suites (limite monotone, critère de Cauchy…) : on en retrouve un condensé ici ! Mixé avec les propriétés des fonctions exponentielles.

Je pense qu’on est plutôt sur des exercices bac + 1, mais ils devraient être accessibles avec les connaissances de terminale.

suites-definies-par-des-integralesTélécharger

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Antoine

CAPES Math externe 2023 Épreuve 1

Dans cet article et afin de vous aider à réviser votre bac, je vous propose de balayer l’épreuve de maths 1 du CAPES externe 2023.

Comme vous le savez peut-être, le CAPES est le concours de recrutement des enseignants du second degré (collège/lycée). Il n’est pas du tout question de revenir ici sur les polémiques qu’on entend tous les ans sur le niveau de ce concours, mais plutôt de regarder ce qui peut intéresser les élèves de Terminale dans cette épreuve. Et la bonne nouvelle est que la réponse est : « tout » !

Ceci pour 2 raisons :

  • Je pense (et je ne suis pas le seul) qu’on peut répondre à l’ensemble des questions avec les concepts vus au lycée. D’ailleurs, certaines questions correspondent à la démonstration de résultats standards du cours (les dérivations en particulier) ;
  • L’autre raison est simplement concernant le format avec une partie vrai/faux au début puis un problème. Le vrai/faux est un format de plus en plus présent (avec des variantes QCM) au bac et c’est donc important de s’y entrainer.

Et si on regarde plus en détails, on retrouve une variété de thèmes dont une bonne partie tombe à coup sûr aux épreuves du bac :

  • Analyse
  • Géométrie
  • Matrices (maths expert donc hors programme pour la majorité des élèves)
  • Pourcentages
  • Arithmétique
  • Dénombrement
  • Probabilités.

Le problème de son côté est dans l’ensemble accessible avec les notions de Terminale et reprend d’ailleurs des résultats classiques : fonctions logarithme et exponentielle, limites, intégrales… Il propose en plus une approche des équations fonctionnelles (équations dont les inconnues sont des fonctions), qui est un type d’exercice assez peu pratiqué.

Un peu tard pour le bac cette année, mais en préparation des études supérieures scientifiques ça peut être un bon support (ou pour ceux qui le verront à temps pour l’an prochain !).

Sujet :

capes_maths_2023_epreuve_1_dvTélécharger

Solution :

capes-2023-math-1-1Télécharger

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Antoine

Intégrales de Wallis

Pour ce premier post, je vous partage un exemple de contenu rédigé pendant un cours particulier auprès d’un élève de terminale (plutôt élève avancé qui se dirige vers une prépa).

Ce post propose un exercice corrigé classique, accessible dès la terminale malgré son côté un peu impressionnant au début.

Il s’appuie sur des concepts assez simples (intégration par parties, récurrence et propriétés des fonctions trigonométriques) ce qui permet de le rendre accessible dès la terminale en le décomposant. C’est une des raisons pour lesquelles je l’apprécie, il permet d’insister sur la méthodologie de résolution :

  • Qu’est-ce que je connais ? La dérivation « tournante » des fonctions trigonométriques et des relations entre sinus et cosinus.
  • Comment je l’applique ? L’intégration par parties ressort tout de suite comme une bonne piste.

Il peut être adapté dans le supérieur en donnant de moins en moins d’indications ou en khôle en guidant l’élève au fur et à mesure en fonction de son avancée. En prépa, c’est un classique à connaître avant les concours.

Voici l’exercice ainsi que sa solution :

integrales-de-wallisTélécharger

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Antoine

Terminale : 2 exercices sur les polynômes

Dans cet article je propose 2 exercices à propos des polynômes du second degré (ou trinômes) qui présentent plusieurs intérêts :

  • Ils introduisent des concepts très importants qui sont repris dans le supérieur sous leur forme générale.
  • Cela en fait des exercices plus intéressants que ceux qu’on croise au bac ces dernières années !
  • Sous une présentation plutôt abstraite, ils sont au final assez simples et s’appuient sur les concepts du programme de terminale.

Le 1er exercice concerne les polynômes interpolateurs (ou d’interpolation) de Lagrange. Il ne présente aucune difficulté particulière à part la manipulation d’expressions littérales un peu plus compliquées que celles qu’on voit habituellement.

L’idée de ces polynômes est de trouver un polynôme de degré n+1 qui passe par n points. Dans notre cas, un trinôme qui passe par 3 points donnés. Pour comprendre l’idée, si on se donne 2 points, il existe une seule droite qui va passer par ces 2 points. Cette propriété se généralise, le polynôme d’interpolation de Lagrange étant unique.

Ils sont utilisés pour divers méthode l’approximation de fonctions, comme par exemple l’approximation de trajectoires astronomiques, mais également en cryptographie pour les clés de Shamir.

Le 2ème exercice donne une démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwartz. Là encore, on utilise exclusivement des outils de terminale et le fameux delta souvent présenté de façon mécanique en classe. La difficulté est surtout liée aux notations et à l’abstraction pour se représenter les 2 familles de n membres.

Cette inégalité, nommée également inégalité triangulaire, est fondamentale dans de nombreux domaines des mathématiques en particulier l’analyse, l’algèbre linéaire ou en probabilités. On la retrouve par exemple dans le théorème de Pythagore ! On retrouve tous ces concepts dans le supérieur dans les notions de produits scalaires et de normes en particulier. Une sympathique introduction à tout cela !

2-exercices-polynomes-1Télécharger

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Antoine

Bac spé math Maroc 2022 – corrigé complet

Pour lancer ce blog, je vous propose aujourd’hui d’étudier le bac spécialité Math proposé au Maroc en 2022.

Comme on va le voir, le sujet est très différent et passablement plus ardu que les derniers sujets donnés en France ! Sans s’éterniser sur la question, je recommande aux élèves qui veulent se lancer en prépa de jeter un œil dessus.

Regardons plus en détails le contenu de cette épreuve :

  • Ex 1 : analyse avec une étude de fonctions classiques avec tout ce qu’on peut en attendre, variations, limites puis bascule vers suites, séries et intégrales. Mais avec quelques subtilités (développements limités pour commencer, inégalité des accroissements finis par exemple) et pas vraiment de question triviale (les variations ou limites ne sautent pas tout de suite aux yeux) ! 10 points bien mérités à la fin après pas mal de calculs.
  • Ex 2 : nombres complexes, pas grand chose à dire on est sur des propriétés standards, mais pas que ! Dommage que ça soit mis totalement à la marge au lycée chez nous, c’est indispensable dans le supérieur…
  • Ex 3 : arithmétique et congruence. Une revue assez intéressante du sujet avec des aspects qu’on ne croise pas tous les jours, en particulier avec l’équation non linéaire qui sert de base à l’exercice. Heureusement, on retombe sur des questions plus classiques rapidement !
  • Ex 4 : les matrices. Personnellement mon exercice préféré du sujet, car sur un cas particulier assez « simple » (matrices 2×2 dans Z) on explore les structures algébriques et les morphismes. Là encore pas mal de calculs mais la plupart des résultats sont « soufflés » pour vérifier ou ne pas bloquer.

Au final, une épreuve sympathique qui permet un bon tour du programme mais sur des exercices intéressants, ça fait plaisir !

bac-maroc-2022-spe-math-fr-1Télécharger
bac-2022-maroc-corrige-2Télécharger

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Antoine