Poly Tosel

Fonctions puissances 4 exercices

On revient pour ce post sur le poly LLG pour continuer le chapitre sur les fonctions puissances débuté il y a quelques temps. Est-ce que c’est parce que je n’ai rien d’autre sous la main ? Pas tout à fait… Mais pas loin non plus. Bref ! On embarque pour les exercices 214, 215, 216 et 217.

4 exercices dans lesquels on s’éloigne un peu du sujet de base finalement.

On va donc y croiser des comparaisons de moyenne arithmétique, harmonique ou géométrique. L’exercice 215 nous fait voyager dans l’histoire pour rencontrer les pensées de Cauchy (en faisant au passage appel à un exercice déjà vu sur ce blog)

On enchaîne avec de la géométrie pour maximiser des aires ou des volumes !

Pas vraiment des fonctions puissances, mais quand même un bon moment ! C’est parti.

du-lycee-aux-cpge-7-fonctions-puissances-4-exercicesTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Fonctions puissances 6 exercices

Dans ce post on se détend un peu après les sujets plutôt corsés de la semaine dernière en repartant dans l’exploration des fonctions puissances.

6 exercices à la suite des précédent postés sur le sujet : 208, 209, 210, 211, 212 et 213. En fait, seulement 5 nouveaux car le 209 était déjà proposé en introduction d’un problème qui utilisait le résultat de cet exercice.

Pas mal de croissances comparées, donc un tour de révision si besoin, impératif à maîtriser parfaitement.

Les 208 et 213 (en dehors du 209, je ne reviens pas dessus) sont un peu différent : dans le 208 on utilise une fonction intermédiaire dont l’étude nous amène au résultat voulu, une méthode classique. Le 213 nous fait réfléchir sur une croissance comparée, moins connue, mais idéalement à avoir en tête également.

du-lycee-aux-cpge-fonctions-puissances-6-exosTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine

Raisonnement par récurrence, un exo costaud !

… et 2 autres en bonus.

Dans ce post, je vous propose un des exercices bien corsés du poly LLG sur le raisonnement par récurrence, l’exercice 15, puis 2 autres en bonus détente sur le raisonnement par l’absurde et les racine carrées.

Alors quid de cet exercice, dont l’énoncé en plus fait 2,5 lignes ? Déjà, on a une suite définie avec avec des références aux parties entières de 3 fractions différentes du rang n concerné ! On sent dans l’instant qu’on va oublier pendant un moment toute notion de plaisir. Et c’est bien le cas.

La première question propose une minoration du terme générique. On est à la fois sur une récurrence forte et une disjonction de cas. J’ai laissé la première version de ma réponse (enfin la seule du coup), même si on peut faire plus propre. Comme ça avait été le cas pour d’autres exercices, je pense que c’est mieux de partager aussi les hésitations. Je laisse à chacun le soin de faire une belle rédaction.

La 2ème question est encore pire je vous recommande d’y réfléchir avant de regarder la réponse, ça reste une belle réflexion. J’aurais tendance à dire qu’il serait intéressant de découper en 2/3 questions pour le rendre faisable en contrôle. Là, on est encore une fois sur un poly de haut vol.

J’ai ajouté 2 exercices pour le plaisir le l’irrationalité des racines carrées, les exercices 17 et 18. Le 18 en particulier est sympa car on s’intéresse à la racine carrée de 3 (le cas le plus connu, 2, est mis en rappel sur le raisonnement par l’absurde), cas qui pourra être généralisé pour les plus motivés.

Et bon courage !

du-lycee-aux-cpge-1-exo-costaudTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Fonctions puissances – 5 exercices

Dans le post du jour, nous allons continuer à étudier les fonctions puissances avec 5 nouveaux exercices, la suite des précédents dans le poly LLG : 203, 204, 205, 206 et 207.

On va retrouver une déclinaison en étude de suite, des études de fonctions avec leurs dérivées et une étude d’optimisation de surface pour un volume donné, donc une application pratique des concepts.

C’est parti !

du-lycee-aux-cpge-5-exos-fct-puissances-203-a-207Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Fonctions puissances 4 exercices

On se lance dans un nouveau chapitre pour ce post rapide pour le dernier jour à la plage !

Je propose donc les 4 premiers exercices du chapitre, toujours pris dans le poly LLG. Il s’agit des 199, 200, 201 et 202.

Pas grand chose à signaler, on s’échauffe avec ces séries d’exercices, on révise les dérivées de ces fonctions. Pour le 199, on repasse aussi sur les propriétés des fonctions convexes, ça ne fait pas de mal je pense.

Allez, je vous laisse avec les exercices, je prends la route demain matin !

du-lycee-aux-cpge-7-fonctions-puissances-4-exosTélécharger

N’hésitez pas pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Raisonnement par récurrence – 4 exercices

Comme promis dans le poste précédent, voici l’exercice 11 du poly LLG. Très bel exercice sur les suites récurrentes d’ordre 2 et le lien avec les trinômes. C’est toujours intéressant de faire le lien entre différents chapitres sans lien directement apparent. Cela éclaire l’exercice 133, même si le mieux était pour chacun de s’y référer directement !

J’en profite, pour glisser 3 autres exercices : le 12 qui est sur le même thème, mais avec un trinôme à racine unique. Le 13 parce qu’il était juste avant le 14 que je voulais vous partager également. C’est un exercice « historique », puisqu’il présente la façon d’utiliser les fractions par les égyptiens. Évidemment, la démonstration qu’on va voir n’a pas grand chose à voir avec leur façon d’appréhender les choses, mais c’est un bon exercice d’entraînement sur la récurrence.

A vous de jouer !

du-lycee-aux-cpge-1-exos-11-a-14Télécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Calcul de limites, la suite…

Pour ce post, on continue le chapitre sur les limites du poly Louis-le-Grand avec 4 nouveaux exercices de calcul de limites, principalement sur des suites. Il s’agit des exercices 133 à 136.

On y trouve un peu de trigonométrie, l’introduction de suites intermédiaires pour se simplifier la vie, mais aussi une référence à l’exercice 11 que je pensais avoir déjà partagé alors que ça n’est pas le cas ! Honte à moi, ça sera pour le prochain post.

Allez hop, on y retourne !

du-lycee-aux-cpge-4-exos-sur-les-limites-la-suiteTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Tle vers CPGE – Calcul de limites – 4 exercices

Quelques exercices depuis la plage, farniente et limites !

Toujours la même source et comme d’habitude des variations intéressantes sur le thème. Si on retrouve des classiques tel que la mise en exergue du terme dominant (bref, la mise en facteur, mais la phrase ne sonnait pas bien du tout, vous pouvez la reconstituer…), on va aussi voir sous un nouvel angle les coefficients binomiaux.

En avant la limite !

du-lycee-aux-cpge-4-exos-calcul-de-limitesTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

Intégration par parties

Paragraphe 8.4 de notre compagnon de l’été (oui, le livret Louis le Grand si vous aviez un doute), quelques exercices sur l’intégration par parties.

C’est un outil indispensable pour les exercices sur les intégrales et on retrouve dans ces exercices les fonctions traditionnelles trigonométriques, exponentielles (à dériver ou primitiver) et les polynômes (plutôt à dériver pour arriver jusqu’à une constante). Je trouve toujours cette méthode assez fascinante, car c’est un outil très puissant basé simplement sur la dérivée d’un produit de fonctions : (uv)’=u’v+v’u !

On va retrouver ci-dessous les exercices 237 à 243. Le 243 est déjà dans un autre post, car il était introductif au problème que l’on y considérait, mais je le remets ici dans son paragraphe d’origine.

Évidemment, et même si je ne le remets pas à chaque fois, je vous conseille d’aller lire les rappels de cours donnés dans le poly qui ne pourront pas faire de mal, même si vous savez résoudre les exercices.

du-lycee-aux-cpge-8-integration-par-partiesTélécharger

Toujours à dispo et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

2 exercices (209 et 231) sur les inégalités

Dans ce post, on repart à l’assaut du livret Louis-le-Grand avec 2 exercices sur les inégalités (d’où le titre…), les 209 et 231, dont je trouve l’enchaînement intéressant pour 2 raisons : déjà on utilise le résultat du premier donc autant les présenter ensemble et la méthode est la même dans les 2, à savoir qu’on n’introduit une fonction intermédiaire dont le comportement nous permet d’arriver à la conclusion cherchée.

Il y a d’abord l’inégalité de Young avec un produit de réels, puis l’inégalité d’Hölder sur des intégrales. On remarquera au passage que le 2ème résultat est une généralisation de l’inégalité de Cauchy-Schwartz (et si on ne le remarque pas, c’est indiqué dans l’énoncé). On avait d’ailleurs déjà traité ce cas dans un autre exercice, qui est d’ailleurs basé sur le même principe, mais avec l’étude d’un trinôme cette fois, ce qui était donc plus aisé.

Je vous laisse donc avec ces 2 exercices, pas si compliqués en soi, mais avec des expressions un peu lourdes à manipuler dans le 2ème qui est une complication en soi.

du-lycee-aux-cpge-2-exercices-sur-les-inegalitesTélécharger

N’hésitez pas à me contacter pour toutes questions et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine