Bac

Bac métropole série S – 95

Nostalgie pour ce post avec le sujet de math du bac S de 1995 et donc l’épreuve que j’ai moi-même passée !

On notera qu’elle contient beaucoup d’analyse…

On attaque par un petit exercice sur les complexes qui porte sur le lien entre les affixes et la géométrie dans le plan.

Le 2ème, ou plutôt les 2ème, puisqu’on y fait une distinction entre spécialité ou non, porte sur du calcul d’intégrales avec étude de fonction intermédiaire pour arriver au résultat. L’exercice de spécialité introduit une suite définie par des intégrales. Heureusement, on en a déjà croisé pas mal ici ! J’ai mis les 2 exercices tant qu’à faire.

Ensuite, le plat de résistance, le problème sur 11 points (le total fait 21 points pour ceux qui ont fait attention, ça sentait déjà le début de la fin !). On y étudie les tangentes communes aux courbes représentatives des fonctions exponentielle et logarithme. Là aussi, on passe par une fonction intermédiaire et on va s’intéresser à des propriétés numériques et géométriques de ces droites.

Cette fois encore, merci à l’APMEP de partager ces ressources !

Allez, c’est parti, on remonte 28 ans en arrière !

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J’espère que ça vous aura plu, en tout cas moi ça m’a bien amusé de faire ce saut dans le temps.

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

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Encore plus cette fois, n’hésitez pas à me contacter pour toute question ! Et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques.

Antoine

Analyse – Bac Tunisie 2020 Ex. 4

Pour ce post, je vous partage l’exercice 4 du Bac Tunisie 2020.

C’est un exercice d’analyse que je sépare du reste car il est déjà assez long en lui-même.

Il est très intéressant car il couvre une grande partie du programme : dérivation, intégration, limites, limite monotone, les gendarmes ! Et ce que j’apprécie particulièrement, c’est qu’on reste sur des concepts assez simples (la fonction étudiées est une composée de racine et exponentielle), mais que pour autant l’exercice n’est pas du tout trivial.

Le début de la question 3 est un peu plus ardu avec une intégration par parties qui comprend un calcul un peu lourd. Ça me semble (malheureusement) bien loin de ce qu’on demande au bac, en France, actuellement, mais c’est indispensable à maîtriser pour le supérieur.

Je vous laisse avec l’exercice !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures !

Antoine

Nouvelle salve d’exercices sur les complexes !

Dans ce post, je vous propose de continuer notre exploration du monde merveilleux des nombres complexes et du poly « du lycée aux CPGE » que je ne présente plus.

10 nouveaux exercices concernant le module et la représentation géométrique. Pour cette dernière, j’ai tâché d’expliquer le plus clairement possible, mais je n’ai pas inséré de représentations graphiques dans le pdf, car ça n’est pas toujours hyper simple avec Géogébra, surtout sur tablette qui est l’outil que j’utilise principalement pour rédiger les documents (je fais souvent ça le soir, mais je ne vais pas raconter ma vie !). J’encourage cependant le plus vivement possible tous les élèves qui veulent se mettre les idées au clair, et encore plus ceux qui ont découverts le concept cette année, de faire les dessins. Se faire des images des concepts me semble (enfin, pas que moi sinon ça n’aurait pas de valeur) le meilleur moyen de bien les comprendre.

Quelques calculs dans cette série, corrigez-moi bien sûr si j’ai fait des erreurs !

Edit 23/05 : Un oubli s’était glissé dans l’exercice 342 !

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Antoine

Un peu de calcul

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices tirés du document « du Lycée aux CPGE » proposé par des professeurs de Louis-le-Grand et Henry IV.

Ce document, accessible sur le site de Louis-le-Grand en particulier : https://www.louislegrand.fr/wp-content/uploads/2022/01/EXOS-TERMINALE3-3-AVECDESSIN.pdf, est une excellente transition entre la terminale et la prépa : il contient des rappels de cours, des méthodes à maîtriser et, évidemment, de nombreux exercices ! Plus de 500 au total, un joli programme pour les vacances post-bac.

Les 2 exercices ci-dessous, sont des exercices de calcul, pas grand-chose de particulier à en dire, à part qu’il ne faut pas se laisser impressionner par les énoncés et toujours prendre un temps de réflexion entre les étapes pour essayer de se simplifier la vie dans la mesure du possible (du moins ne pas se la compliquer).

Les numéros des exercices correspondent à ceux du pdf, ça n’est pas une lubie de ma part, si vous aviez un doute.

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A vos calculs !

Antoine

CAPES Math externe 2023 Épreuve 1

Dans cet article et afin de vous aider à réviser votre bac, je vous propose de balayer l’épreuve de maths 1 du CAPES externe 2023.

Comme vous le savez peut-être, le CAPES est le concours de recrutement des enseignants du second degré (collège/lycée). Il n’est pas du tout question de revenir ici sur les polémiques qu’on entend tous les ans sur le niveau de ce concours, mais plutôt de regarder ce qui peut intéresser les élèves de Terminale dans cette épreuve. Et la bonne nouvelle est que la réponse est : « tout » !

Ceci pour 2 raisons :

  • Je pense (et je ne suis pas le seul) qu’on peut répondre à l’ensemble des questions avec les concepts vus au lycée. D’ailleurs, certaines questions correspondent à la démonstration de résultats standards du cours (les dérivations en particulier) ;
  • L’autre raison est simplement concernant le format avec une partie vrai/faux au début puis un problème. Le vrai/faux est un format de plus en plus présent (avec des variantes QCM) au bac et c’est donc important de s’y entrainer.

Et si on regarde plus en détails, on retrouve une variété de thèmes dont une bonne partie tombe à coup sûr aux épreuves du bac :

  • Analyse
  • Géométrie
  • Matrices (maths expert donc hors programme pour la majorité des élèves)
  • Pourcentages
  • Arithmétique
  • Dénombrement
  • Probabilités.

Le problème de son côté est dans l’ensemble accessible avec les notions de Terminale et reprend d’ailleurs des résultats classiques : fonctions logarithme et exponentielle, limites, intégrales… Il propose en plus une approche des équations fonctionnelles (équations dont les inconnues sont des fonctions), qui est un type d’exercice assez peu pratiqué.

Un peu tard pour le bac cette année, mais en préparation des études supérieures scientifiques ça peut être un bon support (ou pour ceux qui le verront à temps pour l’an prochain !).

Sujet :

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Solution :

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Antoine

Terminale : 2 exercices sur les polynômes

Dans cet article je propose 2 exercices à propos des polynômes du second degré (ou trinômes) qui présentent plusieurs intérêts :

  • Ils introduisent des concepts très importants qui sont repris dans le supérieur sous leur forme générale.
  • Cela en fait des exercices plus intéressants que ceux qu’on croise au bac ces dernières années !
  • Sous une présentation plutôt abstraite, ils sont au final assez simples et s’appuient sur les concepts du programme de terminale.

Le 1er exercice concerne les polynômes interpolateurs (ou d’interpolation) de Lagrange. Il ne présente aucune difficulté particulière à part la manipulation d’expressions littérales un peu plus compliquées que celles qu’on voit habituellement.

L’idée de ces polynômes est de trouver un polynôme de degré n+1 qui passe par n points. Dans notre cas, un trinôme qui passe par 3 points donnés. Pour comprendre l’idée, si on se donne 2 points, il existe une seule droite qui va passer par ces 2 points. Cette propriété se généralise, le polynôme d’interpolation de Lagrange étant unique.

Ils sont utilisés pour divers méthode l’approximation de fonctions, comme par exemple l’approximation de trajectoires astronomiques, mais également en cryptographie pour les clés de Shamir.

Le 2ème exercice donne une démonstration de l’inégalité de Cauchy-Schwartz. Là encore, on utilise exclusivement des outils de terminale et le fameux delta souvent présenté de façon mécanique en classe. La difficulté est surtout liée aux notations et à l’abstraction pour se représenter les 2 familles de n membres.

Cette inégalité, nommée également inégalité triangulaire, est fondamentale dans de nombreux domaines des mathématiques en particulier l’analyse, l’algèbre linéaire ou en probabilités. On la retrouve par exemple dans le théorème de Pythagore ! On retrouve tous ces concepts dans le supérieur dans les notions de produits scalaires et de normes en particulier. Une sympathique introduction à tout cela !

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Antoine

Bac spé math Maroc 2022 – corrigé complet

Pour lancer ce blog, je vous propose aujourd’hui d’étudier le bac spécialité Math proposé au Maroc en 2022.

Comme on va le voir, le sujet est très différent et passablement plus ardu que les derniers sujets donnés en France ! Sans s’éterniser sur la question, je recommande aux élèves qui veulent se lancer en prépa de jeter un œil dessus.

Regardons plus en détails le contenu de cette épreuve :

  • Ex 1 : analyse avec une étude de fonctions classiques avec tout ce qu’on peut en attendre, variations, limites puis bascule vers suites, séries et intégrales. Mais avec quelques subtilités (développements limités pour commencer, inégalité des accroissements finis par exemple) et pas vraiment de question triviale (les variations ou limites ne sautent pas tout de suite aux yeux) ! 10 points bien mérités à la fin après pas mal de calculs.
  • Ex 2 : nombres complexes, pas grand chose à dire on est sur des propriétés standards, mais pas que ! Dommage que ça soit mis totalement à la marge au lycée chez nous, c’est indispensable dans le supérieur…
  • Ex 3 : arithmétique et congruence. Une revue assez intéressante du sujet avec des aspects qu’on ne croise pas tous les jours, en particulier avec l’équation non linéaire qui sert de base à l’exercice. Heureusement, on retombe sur des questions plus classiques rapidement !
  • Ex 4 : les matrices. Personnellement mon exercice préféré du sujet, car sur un cas particulier assez « simple » (matrices 2×2 dans Z) on explore les structures algébriques et les morphismes. Là encore pas mal de calculs mais la plupart des résultats sont « soufflés » pour vérifier ou ne pas bloquer.

Au final, une épreuve sympathique qui permet un bon tour du programme mais sur des exercices intéressants, ça fait plaisir !

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Antoine