Auteur : Antoine REMOND

Antoine REMOND https://antoinemaths.wordpress.com
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Dérivation exos 158 à 161

Repartons dans le poly LLG avec 4 exercices sur les dérivées.

On a 3 exercices qui nous font manipuler les propriétés des dérivées et des tangentes aux courbes. Rien de bien particulier à signaler, mais c’est à bien maîtriser.

J’ai surtout voulu partager le 161, qui va nous faire étudier la technique de Newton pour calculer les racines carrées. On étudie d’abord une fonction qui sert à définir la suite des valeurs successives pour approcher la racine à calculer et finalement s’intéresser à la vitesse de convergence. Encore un bel exercice qui nous permet d’utiliser plusieurs techniques du programme, c’est souvent ce qui donne les exercices les plus intéressants bien sûr.

Je ne perds pas plus de temps avant de vous laisser retrouver Newton !

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Antoine

Secondes – premières équations…

Sous ce subtile jeu de mots, et après quelques rappels, je vous propose d’étudier les premières équations, abordées en seconde.

Je n’en dis pas plus, j’ai détaillé au maximum les corrections.

On se lance !

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Antoine

Second degré : DM pour la rentrée

Dans ce post, je vous propose un DM que j’ai croisé sur un Discord pendant les vacances, sur les équations du second degré et niveau 1ère.

On y trouve 5 exercices, qui permettent d’aborder le sujet sur autant d’angles différents, c’est surtout cet aspect qui m’a plu.

On attaque sur de l’application classique du cours : les propriétés des racines et un système. Pour les 3 suivants, on applique les résultats pour de la géométrie, de la physique et de l’arithmétique.

Au final un devoir qui permet de revoir le cours et de valider la compréhension dans des contextes différents. Cela permet aussi de se rappeler que faire des maths, ça n’est pas juste ressortir des formules plus ou moins magiques récitées par le prof pendant le cours !

Je n’en connais pas l’auteur, mais je le remercie.

A vous de jouer !

Le sujet :

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La correction :

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Antoine

Calcul littéral 3ème / 2nde

Dans ce post je vous propose quelques exercices pour réviser ou renforcer des outils de base qui vont être utilisés dans tous types de sujets en avançant dans l’étude des mathématiques : le calcul littéral.

Cette notion est abordée dès la 4ème puis renforcée en 3ème et doit être maîtrisée à partir de la 2nde.

Je vous propose donc 3 exercices de seconde, mais qui sont abordables dès la 3ème et qui présentent un maximum d’astuces qui reviennent très souvent.

Le premier exercice propose une série d’expressions à factoriser, le 2ème à exprimer une variable en fonction de l’autre. Pour le 3ème, on n’est plus uniquement sur du calcul littéral, mais on utiliser les mêmes techniques pour simplifier les expressions proposées. J’ai tâché de mettre le maximum d’informations sur les techniques qui amènent au résultat.

À votre tour !

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Antoine

Dérivation exercices 154 à 157

On continue le chapitre sur la dérivation avec les 4 exercices suivants, 154, 155, 156 et 157.

On continue à décliner le concept avec des exercices qui permettent de se rendre compte si on maîtrise bien, au-delà des « recettes » qu’on utilise pour l’étude des fonctions.

Je n’en dis pas beaucoup plus, les exercices n’étant pas très longs, je ne voudrais pas spoiler ! Je mets juste en avant un résultat à garder en tête sur sin(1/x), qui se retrouve également pour le cosinus.

À vous de jouer !

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Antoine

Dérivation – 3 nouveaux exercices

On continue le poly LLG avec les 3 exercices suivants du chapitre sur la dérivation : 151, 152 et 153.

On commence par la preuve de résultats classiques (et donc à connaître !) sur les fonctions paires, impaires et périodiques. Essayez déjà de deviner les résultats avant de les vérifier !

Petit exercice facile pour continuer, mais à bien maîtriser : décomposition en éléments simples (qu’on a déjà croisée sous une autre forme, avec des entiers), puis réutilisation d’un exercice du post précédent pour trouver la dérivée.

On finit sur un très bel exercice, avec un concept qu’on ne croise pas souvent : la dérivée logarithmique. Je vous laisse découvrir (ou réviser) le concept, en plus on va s’en resservir plus tard dans un autre exercice !

En avant !

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Antoine

Dérivation et récurrence 3 exercices

On continue notre revue de la dérivation avec les 3 exercices suivants dans le poly LLG : 148, 149 et 150.

Sur ces 3 exercices, on va utiliser des raisonnements par récurrence pour arriver à des résultats sur les dérivées successives. Pas de grosse difficulté, il faut juste bien faire attention à la rédaction et aux indices en particulier.

Il n’y a plus qu’à se lancer…

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Antoine

Dérivations – 3 exercices de révision

On remonte un peu dans les chapitres du poly LLG pour attaquer le 6 sur les dérivées. Contrairement aux intégrales qui sont vues en Terminales, la dérivation est un des moments phare de la classe de 1ère. On pourrait passer des pages à raconter l’histoire et l’importance de cet outil, malheureusement je n’ai pas le temps et il y a déjà pas mal de choses de rappelées dans le poly.

On attaque donc sur les 3 premiers exercices, 145, 146 et 147, qui reviennent sur les fondamentaux.

Le premier exercice propose 16 fonctions pour lesquelles il faut donner le domaine de définition et la dérivée. On fait un tour assez exhaustif des fonctions classiques et on révise bien la composition !

On continue avec une dérivée seconde d’une fonction composée et on termine sur une dérivée n-ième.

À vous de vous assurer que vous maîtrisez les bases maintenant !

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Antoine

Intégrales – 4 résultats classiques !

Continuons les exercices du chapitre 8, sur les intégrales, du poly LLG avec 4 magnifiques résultats ! Ce sont les exercices 251, 252, 253 et 254. Comme je l’ai noté dans le pdf (pour ceux qui suivraient), je n’ai pas fait le 250 qui est une adaptation de la démonstration qui le précède dans le pdf. N’hésitez évidemment pas à le faire de votre côté.

Ici, nous attaquons sur une preuve de l’irrationalité de e. J’imagine que cette propriété est connu de tous, mais la preuve est également à avoir déjà vue : on utilise l’approximation de e par la somme des inverses des factoriels et… je vous laisse découvrir la suite !

On continue sur la preuve de la formule de Taylor-Lagrange avec reste intégrale. Super classique (oui, bon c’est l’idée du post) et où on admire une fois encore la puissance du raisonnement par récurrence. Je n’en dis pas plus, j’ai déjà ajouté une remarque en fin d’exercice.

Les 2 autres exercices nous proposent de calculer des approximations de ln(2) et Pi. On va y retrouver pas mal de méthodes déjà croisées précédemment et quelques astuces à garder dans la besace. Encore un bon moment de passé !

À vous de plonger dans cet océan de réjouissances !

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Antoine

Intégrales de Wallis et binôme de Newton

Dans le post du jour, 2 exercices du poly LLG, les 248 et 249 qui s’enchaînent. Toute la beauté étant qu’on ne voit pas forcément immédiatement le lien entre les 2 !

On commence sur les intégrales de Wallis, dont on a déjà vu une déclinaison en début de blog. On enchaine donc sur le 2ème exercice qui étudie le comportement asymptotique d’une forme particulière du binôme de Newton. Pi apparaît… On pourrait pleurer de joie en voyant le résultat !

Rien de plus à dire, encore 2 beaux exos ! À vous de jouer !

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Antoine