Analyse

Intégration et fonction zêta de Riemann

Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

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N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine

7 exercices sur les calculs de limites

Pour finir le week-end, je vous propose les 1ers exercices de calculs de limites tirés toujours du poly du lycée aux CPGE ! Les numéros 122 à 128.

Comme toujours dans ce poly, on révise les « bases » avec des questions de difficultés progressive et on retrouve déjà une bonne partie des techniques à maîtriser : croissances comparées, mise en facteur de la puissance dominante, formule de la fonction dérivée.

On termine sur un très exercice pour trouver une expression de Pi trouvée par Viète.

Passons tout de suite à la limite ! Aïe, j’y suis passé trop vite : une faute de frappe s’est glissée sur la première fonction de l’exercice 127 : la dérivée de cosinus et -sinus (il manque le « – »). En 0, ça ne change finalement pas le résultat.

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Antoine

Bac Tunisie Math 2020 – corrigé complet

Le post d’aujourd’hui complète le post précédent et propose l’intégralité du corrigé de l’épreuve de math Tunisie 2020 (le pdf comprend également l’exercice 4).

L’impression générale sur ce sujet reflète ce que j’ai dit de l’exercice 4 et les 3 autres exercices sont tout aussi intéressants (bien que plus courts). Ils couvrent 3 autres parties du programmes. L’ensemble apparaît d’un niveau de Terminale très avancé et je ne doute pas que le challenge restera intéressant en Bac +1.

Exercice 1 : géométrie. Passage en revue des transformations du plan avec des symétries glissées, que je n’avais pas croisées depuis un moment ! Sans vouloir passer pour un dinosaure, on croisait des exercices de cette forme « à mon époque », mais ces dernières années, je vois surtout des exercices sur les propriétés des vecteurs et la géométrie devient finalement très calculatoire.

Exercice 2 : nombres complexes et représentation géométrique. Là encore, on est loin d’un application basique avec en particulier l’utilisation des propriétés de la division de 2 nombres complexes.

Exercice 3 : congruence. Une nouvelle fois l’exercice demande une bonne maîtrise des connaissances du programme, la congruence n’étant pas (selon moi au moins) la notion la plus intuitive à utiliser et on conclut avec des calculs de PGCD.

Exercice 4 : analyse. Je renvoie le détail au post précédent, mais une très belle analyse de fonction. Pas forcément le plus dur, mais pas mal de calculs et de loin le plus long des 4.

Lançons-nous maintenant ! J’espère que vous en viendrez à bout !

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Antoine

Analyse – Bac Tunisie 2020 Ex. 4

Pour ce post, je vous partage l’exercice 4 du Bac Tunisie 2020.

C’est un exercice d’analyse que je sépare du reste car il est déjà assez long en lui-même.

Il est très intéressant car il couvre une grande partie du programme : dérivation, intégration, limites, limite monotone, les gendarmes ! Et ce que j’apprécie particulièrement, c’est qu’on reste sur des concepts assez simples (la fonction étudiées est une composée de racine et exponentielle), mais que pour autant l’exercice n’est pas du tout trivial.

Le début de la question 3 est un peu plus ardu avec une intégration par parties qui comprend un calcul un peu lourd. Ça me semble (malheureusement) bien loin de ce qu’on demande au bac, en France, actuellement, mais c’est indispensable à maîtriser pour le supérieur.

Je vous laisse avec l’exercice !

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Antoine

2 exercices sur les équations fonctionnelles

Aujourd’hui, je vous propose 2 exercices toujours extraits du livret « du lycée au CPGE ».

Je limite le nombre d’exercices, car je me rends compte qu’avec pas mal d’exercices par document il traine quelques coquilles et que c’est un peu lourd à reprendre ! Cela permettra aussi de donner quelques précisions sur les exercices quand cela est pertinent

On s’attaque donc cette fois à 2 exercices qui présentent des équations fonctionnelles. C’est un sujet qu’on ne croise pas tellement au lycée, mais qui reste tout à fait accessible et permet d’appliquer ses connaissances de façon plus abstraite, sans connaitre en détails la fonction.

C’est en tout cas à bien maîtriser en Bac +1.

L’exercice 24 est hyper classique, il y a déjà au moins 1 sujet dans lequel il est traité sur ce blog. Pas de grosse difficulté (à part comme indiqué ci-dessus, la capacité de se « représenter » les situations) et on retrouve des raisonnements usuels à maîtriser : récurrence, utilisation des ensemble de nombres, conditions de passage à la limite.

L’exercice 23 me semble un peu plus compliqué (personnellement j’aurais inversé l’ordre !) car la relation étudiée est un peu moins directe et qu’on étudie une dérivée seconde sans connaitre la fonction, ce qui n’est pas du tout courant dans le secondaire. Cependant, là encore, c’est accessible avec les notions de Terminale (peut-être même Première en fait, on utilise des notions assez simples), c’est surtout l’abstraction demandée qui est la difficulté.

Je vous laisse avec les exercices !

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Antoine

Bac spé math Maroc 2022 – corrigé complet

Pour lancer ce blog, je vous propose aujourd’hui d’étudier le bac spécialité Math proposé au Maroc en 2022.

Comme on va le voir, le sujet est très différent et passablement plus ardu que les derniers sujets donnés en France ! Sans s’éterniser sur la question, je recommande aux élèves qui veulent se lancer en prépa de jeter un œil dessus.

Regardons plus en détails le contenu de cette épreuve :

  • Ex 1 : analyse avec une étude de fonctions classiques avec tout ce qu’on peut en attendre, variations, limites puis bascule vers suites, séries et intégrales. Mais avec quelques subtilités (développements limités pour commencer, inégalité des accroissements finis par exemple) et pas vraiment de question triviale (les variations ou limites ne sautent pas tout de suite aux yeux) ! 10 points bien mérités à la fin après pas mal de calculs.
  • Ex 2 : nombres complexes, pas grand chose à dire on est sur des propriétés standards, mais pas que ! Dommage que ça soit mis totalement à la marge au lycée chez nous, c’est indispensable dans le supérieur…
  • Ex 3 : arithmétique et congruence. Une revue assez intéressante du sujet avec des aspects qu’on ne croise pas tous les jours, en particulier avec l’équation non linéaire qui sert de base à l’exercice. Heureusement, on retombe sur des questions plus classiques rapidement !
  • Ex 4 : les matrices. Personnellement mon exercice préféré du sujet, car sur un cas particulier assez « simple » (matrices 2×2 dans Z) on explore les structures algébriques et les morphismes. Là encore pas mal de calculs mais la plupart des résultats sont « soufflés » pour vérifier ou ne pas bloquer.

Au final, une épreuve sympathique qui permet un bon tour du programme mais sur des exercices intéressants, ça fait plaisir !

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Antoine