Dans ce post, je vous propose un très beau problème, accompagné d’un exercice introductif, une nouvelle fois extrait du livret Louis-le-Grand.

Le but de l’exercice est de prouver le lemme de Riemann-Lebesgue qui sera utilisé en fin de problème pour arriver au résultat.

Le problème utilise des intégrales de fonctions trigonométriques pour introduire la somme des inverses des carrés des entiers naturels !

Je ne vais pas insister longuement, je pense que les réponses sont assez détaillées en reprenant les résultats principaux utilisés. On retrouve des intégrations par parties, des majorations classiques, une incursion par les complexes et des formules un peu « lourdes » par lesquelles il ne faut pas se laisser impressionner.

Le tout représente un devoir très avancé en terminale sur lequel il est très intéressant de prendre le temps de réfléchir avant de regarder les réponses.

Bon courage !

N’hésitez pas à me contacter pour toute question et à bientôt pour de nouvelles aventures mathématiques !

Antoine